lim x infty ln (x)x^2-x

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar o limite de ln (x)x^2-x quando x tá indo para o infinito. Vamos usar conceitos de limites e entender como as funções crescem conforme x aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das duas funções no numerador e no denominador conforme x cresce. A função ln(x) cresce, mas de forma bastante lenta. Já o polinômio x^2 - x cresce muito mais rápido porque é de segunda potência.

Passo 3

Quando a gente tem uma fração onde o numerador cresce bem mais devagar que o denominador, o valor total tende a zero. É como se a parte de cima ficasse insignificante comparada com a parte de baixo à medida que x aumenta.

Passo 4

Outra maneira de ver isso é aplicando a regra de L’Hôpital, que diz que se o limite for do tipo inftyinfty, a gente pode derivar o numerador e o denominador e calcular o limite dessas derivadas.
Derivando as partes:
  • A derivada de ln(x) é 1x.
  • A derivada de x^2 - x é 2x - 1.
Então, o limite fica:
lim x infty 1x2x - 1
Simplificando:
lim x infty 1x(2x - 1) = lim x infty 12x^2 - x
À medida que x vai para o infinito, o denominador cresce sem limites, então todo o quociente tende a zero.

Resposta

O limite é 0.

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