Verifique se cada uma das sequências converge ou diverge (justifique sua resposta): {cos(n pi)}_{1}^{+infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente tem uma sequência definida por para indo de 1 até o infinito. Nosso trabalho é descobrir se essa sequência chega a um valor fixo (converge) ou se não para de mudar (diverge). Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma constante que representa 180 graus, e quando a gente multiplica por um número inteiro , estamos basicamente girando o ângulo no círculo trigonométrico. A função cosseno, , nos dá o valor da projeção no eixo x desse ângulo.

Passo 3

Vamos calcular alguns termos da sequência para ver o padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Observamos que a sequência está alternando entre e . Ou seja, para todo número inteiro , será igual a se for ímpar e se for par.

Passo 5

Para uma sequência convergir, ela precisa se aproximar de um único valor quando tende ao infinito. No nosso caso, a sequência não está se aproximando de um único número; ela continua alternando entre e indefinidamente.

Passo 6

Como a sequência não está se estabilizando em um único valor e continua alternando, podemos concluir que ela não tem um limite definido quando vai para o infinito.

Resposta

A sequência diverge porque não converge para um único valor, alternando continuamente entre e .

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