Verifique se cada uma das sequências converge ou diverge (justifique sua resposta):
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente tem uma sequência definida por
para
indo de 1 até o infinito. Nosso trabalho é descobrir se essa sequência chega a um valor fixo (converge) ou se não para de mudar (diverge). Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma constante que representa 180 graus, e quando a gente multiplica
por um número inteiro
, estamos basicamente girando o ângulo no círculo trigonométrico. A função cosseno,
, nos dá o valor da projeção no eixo x desse ângulo.
Passo 3
Vamos calcular alguns termos da sequência para ver o padrão:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Observamos que a sequência está alternando entre
e
. Ou seja, para todo número inteiro
,
será igual a
se
for ímpar e
se
for par.
Passo 5
Para uma sequência convergir, ela precisa se aproximar de um único valor quando
tende ao infinito. No nosso caso, a sequência não está se aproximando de um único número; ela continua alternando entre
e
indefinidamente.
Passo 6
Como a sequência não está se estabilizando em um único valor e continua alternando, podemos concluir que ela não tem um limite definido quando
vai para o infinito.
Resposta
A sequência
diverge porque não converge para um único valor, alternando continuamente entre
e
.