Seja
e considere o conjunto
Para
, este conjunto é o quadrado de vértices
e
. Para
, este conjunto é o octaedro de vértices
e
. Seja
o volume de
:
© Usando (a) e (b), deduza que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em todos os pontos
no espaço n-dimensional onde a soma dos valores absolutos das coordenadas é menor ou igual a
. Para n=2, isso forma um quadrado, e para n=3, um octaedro. O que precisamos fazer aqui é descobrir qual é o volume desse conjunto
usando os resultados das partes (a) e (b) do exercício. No final, queremos mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de
pode ser calculado usando uma integral múltipla sobre todas as coordenadas
. A expressão dada é:
Isso significa que estamos somando infinitesimalmente os volumes pequenos dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na geometria de
. Esse conjunto é conhecido como um poliedro n-dimensional chamado de “octaedro” generalizado. Para cada dimensão adicional, a forma se torna mais complexa, mas a ideia básica permanece: a soma dos valores absolutos das coordenadas está limitada por
.
Passo 4
Para calcular o volume, podemos usar simetria e combinatória. Observe que para cada coordenada
, ela pode ser positiva ou negativa, o que nos dá
combinações possíveis (cada uma das n coordenadas pode ser positiva ou negativa).
Passo 5
Dentro de cada uma dessas
regiões, o volume pode ser calculado como a integral de uma função constante 1 sobre a região definida pela desigualdade
.
Passo 6
A região em cada setor positivo pode ser vista como um simplex n-dimensional, cujo volume é conhecido e dado por
. Como temos
desses setores, o volume total
será:
Resposta
Portanto, o volume de
é dado por: