Seja a>0 e considere o conjunto
Sn(a)=(x1, ldots, xn):|x1|+cdots+|xn| <= a
Para n=2, este conjunto é o quadrado de vértices ( pm a, 0) e (0, pm a). Para n=3, este conjunto é o octaedro de vértices ( pm a, 0,0),(0, pm a, 0) e (0,0, pm a). Seja Vn(a) o volume de Sn(a) :
Vn(a)=integralSn(a) ldots integrald d x1 cdots d xn
© Usando (a) e (b), deduza que Vn(a)=2^n a^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em todos os pontos no espaço n-dimensional onde a soma dos valores absolutos das coordenadas é menor ou igual a . Para n=2, isso forma um quadrado, e para n=3, um octaedro. O que precisamos fazer aqui é descobrir qual é o volume desse conjunto usando os resultados das partes (a) e (b) do exercício. No final, queremos mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume Vn(a) = integralSn(a) ldots integral dx1 cdots dxn de pode ser calculado usando uma integral múltipla sobre todas as coordenadas . A expressão dada é:
Isso significa que estamos somando infinitesimalmente os volumes pequenos dentro de .

Passo 3

Agora, vamos pensar na geometria de . Esse conjunto é conhecido como um poliedro n-dimensional chamado de “octaedro” generalizado. Para cada dimensão adicional, a forma se torna mais complexa, mas a ideia básica permanece: a soma dos valores absolutos das coordenadas está limitada por .

Passo 4

Para calcular o volume, podemos usar simetria e combinatória. Observe que para cada coordenada , ela pode ser positiva ou negativa, o que nos dá combinações possíveis (cada uma das n coordenadas pode ser positiva ou negativa).

Passo 5

Dentro de cada uma dessas regiões, o volume pode ser calculado como a integral de uma função constante 1 sobre a região definida pela desigualdade .

Passo 6

A região em cada setor positivo pode ser vista como um simplex n-dimensional, cujo volume é conhecido e dado por Vn(a) = 2^n times a^nn! . Como temos desses setores, o volume total será:

Resposta

Portanto, o volume de Vn(a) = 2^n a^nn! é dado por:

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