Passo 1
Beleza! Vamos resolver o limite:
O que vamos usar:
- Conceito de limites quando
tende ao infinito. - Propriedades da função seno.
- Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
-
Numerador:A função seno (
) sempre oscila entre -1 e 1, ou seja: -
Denominador:Conforme
tende ao infinito, também tende ao infinito, então cresce sem limites.
Passo 3
Agora, vamos dividir tudo pela expressão positiva
. Como
para todo
, a desigualdade mantém a direção dos sinais:
Passo 4
Vamos calcular os limites das extremidades:
Isso porque, conforme
cresce,
sobe muito, tornando as frações
e
cada vez menores, aproximando-se de zero.
Passo 5
Pelo Teorema do Sandwich, se:
e
, então:
Aplicando isso aqui:
Como
e ambos os limites das extremidades são 0, segue que:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Efetue a conta
e então calcule a derivada do resultado;