Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite:
O que vamos usar:
  • Conceito de limites quando tende ao infinito.
  • Propriedades da função seno.
  • Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador:
    A função seno ( ) sempre oscila entre -1 e 1, ou seja:
  • Denominador:
    Conforme tende ao infinito, também tende ao infinito, então cresce sem limites.

Passo 3

Agora, vamos dividir tudo pela expressão positiva . Como para todo , a desigualdade mantém a direção dos sinais:

Passo 4

Vamos calcular os limites das extremidades:
Isso porque, conforme cresce, sobe muito, tornando as frações e cada vez menores, aproximando-se de zero.

Passo 5

Pelo Teorema do Sandwich, se:
e , então:
Aplicando isso aqui:
Como e ambos os limites das extremidades são 0, segue que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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Efetue a conta e então calcule a derivada do resultado;
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