lim x infty sen(x^3-8 x)x^2+1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite:
lim x infty sen(x^3-8 x)x^2+1
O que vamos usar:
  • Conceito de limites quando tende ao infinito.
  • Propriedades da função seno.
  • Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: -1 <= sen(x^3 - 8x) <= 1
    A função seno ( ) sempre oscila entre -1 e 1, ou seja:
  • Denominador:
    Conforme tende ao infinito, também tende ao infinito, então cresce sem limites.

Passo 3

Agora, vamos dividir tudo pela expressão positiva -1x^2 + 1 <= sen(x^3 - 8x)x^2 + 1 <= 1x^2 + 1 . Como para todo , a desigualdade mantém a direção dos sinais:

Passo 4

Vamos calcular os limites das extremidades:
Isso porque, conforme cresce, sobe muito, tornando as frações e cada vez menores, aproximando-se de zero.

Passo 5

Pelo Teorema do Sandwich, se:
limx to infty f(x) = L e limx to infty h(x) = L
e limx to infty g(x) = L , então:
lim x infty sen(x^3-8 x)x^2+1 = 0
Aplicando isso aqui:
Como e ambos os limites das extremidades são 0, segue que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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