lim x 4(x-3)^2 xx-4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (x-3)^2xx-4 = (4-3)^2 times 44-4 = 1^80 na expressão para ver o que acontece:
Aqui, vemos que a base está sendo elevada a uma potência que tende a infinito, pois no denominador. Isso nos dá uma forma indeterminada , que precisamos resolver de outra maneira.

Passo 3

Para resolver limites do tipo L = limx to 4 (x-3)^2xx-4 , usamos uma técnica que envolve logaritmos. Vamos chamar o limite de ln L = limx to 4 2xx-4 cdot ln(x-3) :
ln(x-3) = ln(1) = 0
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
ddx[2x cdot ln(x-3)] = 2 ln(x-3) + 2xx-3
Agora, temos o limite de uma forma que podemos manipular melhor. Vamos analisar ddx[x - 4] = 1 quando ln L = limx to 4 2 ln(x-3) + 2xx-31 = 2 ln(1) + 81 = 0 + 8 = 8 :
Então, a expressão se torna , que é outra forma indeterminada. Para resolver, usamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivando o numerador :
Derivando o denominador :
Aplicando a regra de L’Hôpital:

Resposta

Então, .

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