Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
na expressão para ver o que acontece:
Aqui, vemos que a base
está sendo elevada a uma potência que tende a infinito, pois
no denominador. Isso nos dá uma forma indeterminada
, que precisamos resolver de outra maneira.
Passo 3
Para resolver limites do tipo
, usamos uma técnica que envolve logaritmos. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, temos o limite de uma forma que podemos manipular melhor. Vamos analisar
quando
:
Então, a expressão
se torna
, que é outra forma indeterminada. Para resolver, usamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Resposta
Então,
.