lim x infty(x-raizx^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando cresce para o infinito da expressão . Isso está dentro do conteúdo de limites no cálculo, especialmente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a avaliação do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão . Quando é muito grande, tanto quanto também são grandes, e a diferença entre eles pode não ser fácil de ver diretamente. Uma técnica comum para resolver isso é multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado.

Passo 3

O conjugado de x - raizx^2 + 1 = (x - raizx^2 + 1)(x + raizx^2 + 1)x + raizx^2 + 1 é . Vamos multiplicar e dividir a expressão original por esse conjugado:

Passo 4

Multiplicando o numerador, usamos a diferença de quadrados:
(x - raizx^2 + 1)(x + raizx^2 + 1) = x^2 - (raizx^2 + 1)^2 = x^2 - (x^2 + 1) = -1
Então, a expressão fica:
-1x + raizx^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador raizx^2 + 1 = x raiz1 + 1x^2 quando x + x raiz1 + 1x^2 = x(1 + raiz1 + 1x^2) vai para o infinito. Para simplificar, podemos fatorar dentro da raiz:
Então, o denominador se torna:

Passo 6

Quando x(1 + 1) = 2x tende para o infinito, tende para 0. Assim, tende para . Portanto, o denominador aproximado fica:

Passo 7

Voltando à nossa expressão simplificada:
-1x + raizx^2 + 1 approx -12x
Agora, vamos calcular o limite quando limx to infty -12x = 0 vai para o infinito:

Resposta

O limite é .

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