Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
cresce para o infinito da expressão
. Isso está dentro do conteúdo de limites no cálculo, especialmente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a avaliação do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão
. Quando
é muito grande, tanto
quanto
também são grandes, e a diferença entre eles pode não ser fácil de ver diretamente. Uma técnica comum para resolver isso é multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado.
Passo 3
O conjugado de
é
. Vamos multiplicar e dividir a expressão original por esse conjugado:
Passo 4
Multiplicando o numerador, usamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o denominador
quando
vai para o infinito. Para simplificar, podemos fatorar
dentro da raiz:
Então, o denominador se torna:
Passo 6
Quando
tende para o infinito,
tende para 0. Assim,
tende para
. Portanto, o denominador aproximado fica:
Passo 7
Voltando à nossa expressão simplificada:
Agora, vamos calcular o limite quando
vai para o infinito:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Efetue a conta
e então calcule a derivada do resultado;
Determine o valor de
de modo que se verifiquem as seguintes equações:
(b)
(b)