Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando cresce para o infinito da expressão . Isso está dentro do conteúdo de limites no cálculo, especialmente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para facilitar a avaliação do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão . Quando é muito grande, tanto quanto também são grandes, e a diferença entre eles pode não ser fácil de ver diretamente. Uma técnica comum para resolver isso é multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado.

Passo 3

O conjugado de é . Vamos multiplicar e dividir a expressão original por esse conjugado:

Passo 4

Multiplicando o numerador, usamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador quando vai para o infinito. Para simplificar, podemos fatorar dentro da raiz:
Então, o denominador se torna:

Passo 6

Quando tende para o infinito, tende para 0. Assim, tende para . Portanto, o denominador aproximado fica:

Passo 7

Voltando à nossa expressão simplificada:
Agora, vamos calcular o limite quando vai para o infinito:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

;
Efetue a conta e então calcule a derivada do resultado;
.
Determine o valor de de modo que se verifiquem as seguintes equações:
(b)