lim x 1(tg(pi x4)^tg(pi x2))

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e propriedades de exponenciação e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com cada parte da função quando se aproxima de 1.
  • : Quando , temos .
  • : Quando , temos , que tende ao infinito ( ).
Portanto, a expressão se torna , que é uma forma indeterminada. Precisamos manipular essa expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos chamar o limite desejado de L = lim x 1(tan(pi x4)^tan(pi x2)) :
ln L = lim x 1 tan(pi x2) cdot ln(tan(pi x4))
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, temos uma forma do tipo , que ainda é indeterminada. Vamos reescrever essa expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Reescrevemos o limite da seguinte forma:
ln L = lim x 1 ln(tan(pi x4))cot(pi x2)
Agora, temos uma forma , que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador em relação a ddx ln(tan(pi x4)) = sec^2(pi x4)tan(pi x4) cdot pi4 :
  • Derivada do numerador:
ddx cot(pi x2) = -csc^2(pi x2) cdot pi2
  • Derivada do denominador:

Passo 6

Substituímos as derivadas no limite:
ln L = lim x 1 sec^2(pi x4)tan(pi x4) cdot pi4-csc^2(pi x2) cdot pi2
Simplificando os termos:
ln L = lim x 1 sec^2(pi x4)tan(pi x4) cdot pi4 cdot -2pi cdot sin^2(pi x2)
ln L = lim x 1 -12 cdot sec^2(pi x4) cdot sin^2(pi x2)tan(pi x4)

Passo 7

Agora, substituímos sec^2(pi4) = 1cos^2(pi4) = 2 na expressão simplificada:
tan(pi4) = 1
sin^2(pi2) = 1
ln L = -12 cdot 2 cdot 11 = -1
Substituindo esses valores:

Passo 8

Agora que temos L = e^-1 = 1e , solucionamos para :

Resposta

O limite é .

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