Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e propriedades de exponenciação e logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com cada parte da função quando
se aproxima de 1.
-
: Quando , temos . -
: Quando , temos , que tende ao infinito ( ).
Portanto, a expressão se torna
, que é uma forma indeterminada. Precisamos manipular essa expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos chamar o limite desejado de
:
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, temos uma forma do tipo
, que ainda é indeterminada. Vamos reescrever essa expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Reescrevemos o limite da seguinte forma:
Agora, temos uma forma
, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 6
Substituímos as derivadas no limite:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Substituindo esses valores:
Passo 8
Agora que temos
, solucionamos para
:
Resposta
O limite é
.