Se
é contínua e
determine, se possível, o valor da constante
e o valor de
para que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores da constante
e da derivada
de uma função
que satisfazem uma condição de limite. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como aproximar funções perto de um ponto e aplicar regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite que temos:
Queremos simplificar isso para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos lembrar que quando
está próximo de 0, podemos aproximar algumas funções usando séries de Taylor ou simplesmente usando as aproximações lineares:
-
quando é pequeno. -
quando é pequeno.
Então:
Passo 4
Agora, vamos aproximar
nessas expressões. Como
é diferenciável e
existe, podemos usar a aproximação:
Dado que
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Aqui, ignoramos o termo de
porque, para
muito pequeno, ele é desprezível.
Passo 6
Substituindo as aproximações no limite original:
Vamos simplificar o numerador:
Então, o limite fica:
Passo 7
Para que esse limite exista e seja igual a 12, precisamos que o termo independente de
(ou seja,
) seja zero. Caso contrário, teríamos uma divisão por zero não definida. Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão dos termos com
:
Queremos que isso seja igual a 12:
Resposta
A constante
vale -3 e a derivada
é igual a 2.