Se f^prime é contínua e f(0)=3 determine, se possível, o valor da constante m e o valor de f^prime(0) para que
lim x 0 m f(e^4 x-1)+[f(sin (3 x))]^2x=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores da constante e da derivada de uma função que satisfazem uma condição de limite. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como aproximar funções perto de um ponto e aplicar regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite que temos:
limx 0 m cdot f(e^4x - 1) + [f(sin(3x))]^2x = 12
Queremos simplificar isso para encontrar e .

Passo 3

Vamos lembrar que quando e^4x - 1 approx 4x está próximo de 0, podemos aproximar algumas funções usando séries de Taylor ou simplesmente usando as aproximações lineares:
  • sin(3x) approx 3x quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
Então:

Passo 4

Agora, vamos aproximar f(a) approx f(0) + f'(0) cdot a nessas expressões. Como f(e^4x - 1) approx 3 + f'(0) cdot 4x é diferenciável e f(sin(3x)) approx 3 + f'(0) cdot 3x existe, podemos usar a aproximação:
Dado que , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular [3 + f'(0) cdot 3x]^2 = 9 + 2 cdot 3 cdot f'(0) cdot 3x + (f'(0) cdot 3x)^2 approx 9 + 18f'(0)x :
Aqui, ignoramos o termo de porque, para muito pequeno, ele é desprezível.

Passo 6

Substituindo as aproximações no limite original:
m cdot (3 + 4f'(0)x) + (9 + 18f'(0)x)x = 12
Vamos simplificar o numerador:
3m + 4m f'(0)x + 9 + 18f'(0)x
Então, o limite fica:
limx 0 3m + 9 + (4m f'(0) + 18f'(0))xx = 12

Passo 7

Para que esse limite exista e seja igual a 12, precisamos que o termo independente de 3m + 9 = 0 implies m = -3 (ou seja, ) seja zero. Caso contrário, teríamos uma divisão por zero não definida. Portanto:

Passo 8

Agora, substituímos 4m f'(0) + 18f'(0) = 4(-3)f'(0) + 18f'(0) = -12f'(0) + 18f'(0) = 6f'(0) na expressão dos termos com 6f'(0) = 12 implies f'(0) = 2 :
Queremos que isso seja igual a 12:

Resposta

A constante vale -3 e a derivada é igual a 2.

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