lim x 0 e^x-e^-x-2 xx^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre calcular o limite:
limx 0 e^x - e^-x - 2xx^5
Aqui, a gente está trabalhando com limites e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas para analisar o comportamento de funções perto de um ponto específico (neste caso, quando se aproxima de 0). Para resolver isso, vamos usar a expansão em séries de Taylor das funções exponenciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se expande a função exponencial em série de Taylor. A série de Taylor para e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + x^5120 + cdots em torno de 0 é:
e^-x = 1 - x + x^22 - x^36 + x^424 - x^5120 + cdots
E para , basta substituir por :
Essas séries nos permitem aproximar as funções exponenciais com polinômios quando é próximo de 0.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expansões no numerador da nossa expressão:
e^x - e^-x - 2x = (1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + x^5120 + cdots) - (1 - x + x^22 - x^36 + x^424 - x^5120 + cdots) - 2x
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Subtração das séries:
    e^x - e^-x = 2x + 2x^36 + 2x^5120 + cdots = 2x + x^33 + x^560 + cdots
  2. Subtraindo o e^x - e^-x - 2x = x^33 + x^560 + cdots :

Passo 4

Agora, vamos dividir o resultado pelo denominador e^x - e^-x - 2xx^5 = x^33 + x^560 + cdotsx^5 = 13x^2 + 160 + cdots :
Aqui, percebemos que o termo dominante é . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, fazendo com que cresça sem limite.

Passo 5

Finalmente, analisando o comportamento da expressão quando se aproxima de 0:
  • O termo tende a .
  • Os outros termos, como , são constantes e não afetam a tendência principal.
Portanto, o limite da expressão inteira é .

Resposta

limx 0 e^x - e^-x - 2xx^5 = +infty

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