Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre calcular o limite:
Aqui, a gente está trabalhando com limites e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas para analisar o comportamento de funções perto de um ponto específico (neste caso, quando
se aproxima de 0). Para resolver isso, vamos usar a expansão em séries de Taylor das funções exponenciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se expande a função exponencial em série de Taylor. A série de Taylor para
em torno de 0 é:
E para
, basta substituir
por
:
Essas séries nos permitem aproximar as funções exponenciais com polinômios quando
é próximo de 0.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expansões no numerador da nossa expressão:
Vamos simplificar isso passo a passo:
-
Subtração das séries:
-
Subtraindo o
:
Passo 4
Agora, vamos dividir o resultado pelo denominador
:
Aqui, percebemos que o termo dominante é
. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, fazendo com que
cresça sem limite.
Passo 5
Finalmente, analisando o comportamento da expressão quando
se aproxima de 0:
- O termo
tende a . - Os outros termos, como
, são constantes e não afetam a tendência principal.
Portanto, o limite da expressão inteira é
.