Seja
um corpo e
um polinômio de grau
e termo constante
. Demonstre que, se
for irredutível, então
também será.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo
e um polinômio
de grau
com termo constante
. A gente precisa mostrar que se
for irredutível sobre
, então o polinômio
também será irredutível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos polinômios, especialmente sobre polinômios irredutíveis e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio é irredutível sobre um corpo
se ele não pode ser fatorado em dois polinômios de grau menor que ele, com coeficientes em
. Ou seja, ele não tem divisores não triviais em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o polinômio
. Perceba que
é o polinômio
“invertido”, ou seja, os coeficientes de
estão na ordem reversa em
. Isso é conhecido como polinômio recíproco.
Passo 4
Vamos considerar o polinômio
multiplicado por
, assim:
Perceba que isso resulta exatamente no polinômio
.
Passo 5
Sabemos que se
é irredutível, então
também é irredutível. Isso porque a transformação
é uma bijeção que preserva a irredutibilidade dos polinômios.
Passo 6
Portanto, como
e
é irredutível, segue que
também é irredutível sobre
.
Resposta
Concluímos que, se
é um polinômio irredutível de grau
com termo constante não nulo, então o polinômio
, obtido invertendo a ordem dos coeficientes de
, também é irredutível sobre o corpo
.