Seja K um corpo e f(x) = a0 + a1 x + ... + an-1 x^(n-1) + an x^n em K[x] um polinômio de grau n e termo constante a0 ≠ 0. Demonstre que, se f(x) for irredutível, então g(x) = a_n + a_{n-1} x ... + a1 x^(n-1) + a0 x^n também será.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo e um polinômio de grau com termo constante . A gente precisa mostrar que se for irredutível sobre , então o polinômio também será irredutível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos polinômios, especialmente sobre polinômios irredutíveis e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio é irredutível sobre um corpo se ele não pode ser fatorado em dois polinômios de grau menor que ele, com coeficientes em . Ou seja, ele não tem divisores não triviais em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o polinômio . Perceba que é o polinômio “invertido”, ou seja, os coeficientes de estão na ordem reversa em . Isso é conhecido como polinômio recíproco.

Passo 4

Vamos considerar o polinômio multiplicado por , assim:
Perceba que isso resulta exatamente no polinômio .

Passo 5

Sabemos que se é irredutível, então também é irredutível. Isso porque a transformação é uma bijeção que preserva a irredutibilidade dos polinômios.

Passo 6

Portanto, como e é irredutível, segue que também é irredutível sobre .

Resposta

Concluímos que, se é um polinômio irredutível de grau com termo constante não nulo, então o polinômio , obtido invertendo a ordem dos coeficientes de , também é irredutível sobre o corpo .

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