o)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como comportam-se as funções
e
quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
. Além disso, para valores de
próximos de 0, podemos usar a aproximação da série de Taylor para
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Usando a aproximação que fizemos, temos:
Passo 4
Para simplificar a expressão
quando
é pequeno, podemos usar a expansão em série de Taylor para o logaritmo natural:
Substituindo
por
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
Portanto,
.