o) lim x 0 ln (cos x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como comportam-se as funções e quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cos x approx 1 - x^22 quando se aproxima de 0. Sabemos que . Além disso, para valores de próximos de 0, podemos usar a aproximação da série de Taylor para :

Passo 3

Agora, queremos encontrar ln(cos x) approx ln(1 - x^22) . Usando a aproximação que fizemos, temos:

Passo 4

Para simplificar a expressão ln(1 - y) approx -y quando ln(1 - x^22) approx -x^22 é pequeno, podemos usar a expansão em série de Taylor para o logaritmo natural:
Substituindo por , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx 0 ln(cos x) approx limx 0 (-x^22) = 0 tende a 0:

Resposta

Portanto, .

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