Resolva a equação diferencial com condição inicial.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente das que são separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e para integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar e . A equação dada é:
Podemos dividir ambos os lados por para isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado da equação:
Integrando o lado esquerdo, temos , e no lado direito, . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
Simplificando, obtemos:
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Resolvendo para :

Passo 6

Finalmente, substituímos o valor de na expressão geral da solução:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

o)
g)
Resolva o problema de valor inicial.
.
Resolva o problema de valor inicial.
.