Resolva a equação diferencial com condição inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
com a condição inicial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente das que são separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar
e
. A equação dada é:
Podemos dividir ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado da equação:
Integrando o lado esquerdo, temos
, e no lado direito,
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
Simplificando, obtemos:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos o valor de
na expressão geral da solução:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
o)
g)
Resolva o problema de valor inicial.
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Resolva o problema de valor inicial.
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