Para quais valores de r a função y(x) = e^(r x) é solução da equação 2 y'' + y' - y = 0 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Queremos encontrar os valores de para os quais a função é solução da equação diferencial . Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas e substituir na equação diferencial.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de . A primeira derivada é:
A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo as derivadas:

Passo 4

Fatoramos que é comum em todos os termos:
Como nunca é zero, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculamos o discriminante ( ):
Como , teremos duas soluções reais distintas.

Passo 7

Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
  • Para o sinal positivo:
  • Para o sinal negativo:

Resposta

Os valores de que tornam solução da equação são e .

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