Resolva o problema de valor inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e usar o método do fator integrante. Então, estamos prontos para começar!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação dada para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
A equação que temos é:
Dividindo todos os termos por
para deixar o coeficiente de
igual a 1:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a resolver a equação. O fator integrante
é dado por:
Esse fator será multiplicado por toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que a equação agora fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução do problema é: