Resolva o problema de valor inicial.
t^3 dy/dt + 3 t^2 y = cos(t) com y(pi) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e usar o método do fator integrante. Então, estamos prontos para começar!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação dada para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
A equação que temos é:
Dividindo todos os termos por para deixar o coeficiente de igual a 1:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Esse fator será multiplicado por toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que a equação agora fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do problema é:

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