Passo 1
Vamos analisar o limite
. Aqui estamos lidando com funções polinomiais e logarítmicas. Para resolver esse limite, precisamos entender como
e
se comportam quando
se aproxima de zero pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que
está se aproximando de zero a partir de valores positivos, ou seja,
está ficando muito pequeno, mas sempre positivo.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte da função:
-
: Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero, já que qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor. -
: O logaritmo natural de tende a quando se aproxima de zero pela direita.
Passo 4
Temos, portanto, uma situação onde
tende a zero e
tende a
. Isso cria uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Reescrevendo o limite:
Agora, temos uma forma do tipo
, que ainda é indeterminada. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador.
Passo 6
Derivando o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite fica:
Passo 7
Agora, avaliando o limite de
quando
se aproxima de zero:
Resposta
Portanto,
.
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reais quando
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