lim x -0^+ x^2 ln x

Passo 1

Vamos analisar o limite . Aqui estamos lidando com funções polinomiais e logarítmicas. Para resolver esse limite, precisamos entender como e se comportam quando se aproxima de zero pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que está se aproximando de zero a partir de valores positivos, ou seja, está ficando muito pequeno, mas sempre positivo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da função:
  • : Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero, já que qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.
  • : O logaritmo natural de tende a quando se aproxima de zero pela direita.

Passo 4

Temos, portanto, uma situação onde tende a zero e tende a . Isso cria uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Reescrevendo o limite:
limx 0^+ x^2 ln x = limx 0^+ ln xx^-2
Agora, temos uma forma do tipo , que ainda é indeterminada. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador.

Passo 6

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de limx 0^+ 1x-2x^-3 = limx 0^+ 1x times -x^32 = limx 0^+ -x^22 em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Passo 7

Agora, avaliando o limite de limx 0^+ -x^22 = 0 quando se aproxima de zero:

Resposta

Portanto, .

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