Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que dão formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão. No numerador,
e
, então o numerador fica
. No denominador,
. Isso nos dá a forma
, que é uma indeterminação.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação
, uma técnica útil é a Regra de L’Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos aplicar isso aqui.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada do numerador é.
Agora, derivamos o denominador
:
- A derivada de
é .
Passo 5
Agora substituímos essas derivadas no limite:
Substituindo
novamente, vemos que ainda temos uma indeterminação
. Então, aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 6
Derivando novamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Agora, o limite fica: