lim x 1 ln (x)-(x-1)(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que dão formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão. No numerador, e , então o numerador fica . No denominador, . Isso nos dá a forma , que é uma indeterminação.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação , uma técnica útil é a Regra de L’Hospital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos aplicar isso aqui.

Passo 4

Vamos derivar o numerador :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
    Então, a derivada do numerador é .
Agora, derivamos o denominador :
  • A derivada de é .

Passo 5

Agora substituímos essas derivadas no limite:
lim x 1 1x - 12(x - 1)
Substituindo novamente, vemos que ainda temos uma indeterminação . Então, aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 6

Derivando novamente:
  • A derivada de lim x 1 -1x^22 = -11^22 = -12 é .
  • A derivada de é .
Agora, o limite fica:

Resposta

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