lim x 1 x^x-1-x ln (x)(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aqui:
lim x 1 x^x -1 -x ln (x)(x-1)^2
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando a Regra de L’Hospital. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite inicialmente dá uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a regra para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 1^1 - 1 - 1 cdot ln(1) = 1 - 1 - 0 = 0 na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
No numerador:
(1 - 1)^2 = 0
No denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada do tipo . Isso nos permite usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma f'(x) = ddx(x^x) - ddx(1) - ddx(x ln(x)) ou ddx(x^x) = x^x (ln(x) + 1) , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx(1) = 0 :
ddx(x ln(x)) = ln(x) + 1
Sabemos que:
f'(x) = x^x (ln(x) + 1) - (ln(x) + 1)
g'(x) = 2(x - 1)
Então:
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 1 f'(x)g'(x) = lim x 1 x^x (ln(x) + 1) - (ln(x) + 1)2(x - 1)
Vamos simplificar o numerador:
x^x (ln(x) + 1) - (ln(x) + 1) = (ln(x) + 1)(x^x - 1)
Substituindo na expressão do limite:
lim x 1 (ln(x) + 1)(x^x - 1)2(x - 1)
Substituindo ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 :
x^x - 1 = 1 - 1 = 0
2(x - 1) = 0
Ainda temos uma forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador:
ddx [ (ln(x) + 1)(x^x - 1) ] = (1x)(x^x - 1) + (ln(x) + 1) cdot ddx(x^x)
Sabemos que:
ddx(x^x) = x^x (ln(x) + 1)
Então:
= 1x(x^x - 1) + (ln(x) + 1) cdot x^x (ln(x) + 1)
Simplificando:
= x^x - 1x + x^x (ln(x) + 1)^2
Derivada do denominador:
ddx [2(x - 1)] = 2
Agora, o limite fica:
lim x 1 x^x - 1x + x^x (ln(x) + 1)^2 2
Substituindo 1^1 - 11 + 1^1 (ln(1) + 1)^2 = 0 + 1 cdot (0 + 1)^2 = 1 :
12 = 12
Então, o limite é:

Resposta

O limite é igual a .

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