Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aqui:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente usando a Regra de L’Hospital. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite inicialmente dá uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a regra para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
No numerador:
No denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso nos permite usar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Sabemos que:
Então:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar o numerador:
Substituindo na expressão do limite:
Substituindo
:
Ainda temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Substituindo
:
Então, o limite é:
Resposta
O limite é igual a
.