Sejam f, g em Q[x]. Suponha que f é irredutível em Q[x] e que f(x) e g(x) possuem uma raiz em comum em C. Demonstre que f | g.
Dica: Use as propriedades do mdc para demonstrar esse fato.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre dois polinômios, f e g, que estão no conjunto Q[x] (ou seja, têm coeficientes racionais). A gente sabe que f é irredutível nesse conjunto, o que significa que não consegue ser fatorado em polinômios de menor grau com coeficientes racionais. Além disso, f(x) e g(x) têm uma raiz em comum no conjunto dos números complexos, C. Nosso objetivo aqui é mostrar que f divide g (escrevemos isso como f | g). Para resolver isso, vamos usar as propriedades do máximo divisor comum (mdc) dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa f ser irredutível em Q[x]. Isso quer dizer que o único divisor de f nesse conjunto são as unidades (polinômios constantes diferentes de zero) e o próprio f. Ou seja, não tem como quebrar f em outros polinômios de menor grau com coeficientes racionais.

Passo 3

Agora, sabemos que f(x) e g(x) compartilham uma raiz em comum, digamos alpha in C. Isso significa que e . Basicamente, alpha é uma solução para ambos os polinômios.

Passo 4

O fato de ambos os polinômios terem a raiz alpha implica que é um fator comum de f(x) e g(x) quando olhamos no conjunto dos polinômios sobre C. Mas a gente precisa relacionar isso com o conjunto Q[x], onde estamos trabalhando.

Passo 5

Vamos pensar no máximo divisor comum de f e g em Q[x], que a gente chama de . Esse mdc é o maior polinômio que divide tanto f quanto g nesse conjunto. Como f é irredutível, os únicos candidatos para serem o mdc são as unidades ou o próprio f.

Passo 6

Mas como f(x) e g(x) têm uma raiz em comum, isso significa que o mdc não pode ser uma unidade (pois unidades não têm raízes). Portanto, o mdc tem que ser exatamente f (ou um múltiplo de f por uma constante racional, que podemos considerar como 1).

Passo 7

Se o mdc de f e g é f, isso quer dizer que f divide g. Ou seja, existe algum polinômio tal que .

Resposta

Portanto, mostramos que f divide g, isto é, f | g.

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