Sejam
. Suponha que
é irredutível em
e que
e
possuem uma raiz em comum em
. Demonstre que
.
Dica: Use as propriedades do mdc para demonstrar esse fato.
Dica: Use as propriedades do mdc para demonstrar esse fato.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre dois polinômios,
e
, que estão no conjunto
(ou seja, têm coeficientes racionais). A gente sabe que
é irredutível nesse conjunto, o que significa que não consegue ser fatorado em polinômios de menor grau com coeficientes racionais. Além disso,
e
têm uma raiz em comum no conjunto dos números complexos,
. Nosso objetivo aqui é mostrar que
divide
(escrevemos isso como
). Para resolver isso, vamos usar as propriedades do máximo divisor comum (mdc) dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser irredutível em
. Isso quer dizer que o único divisor de
nesse conjunto são as unidades (polinômios constantes diferentes de zero) e o próprio
. Ou seja, não tem como quebrar
em outros polinômios de menor grau com coeficientes racionais.
Passo 3
Agora, sabemos que
e
compartilham uma raiz em comum, digamos
. Isso significa que
e
. Basicamente,
é uma solução para ambos os polinômios.
Passo 4
O fato de ambos os polinômios terem a raiz
implica que
é um fator comum de
e
quando olhamos no conjunto dos polinômios sobre
. Mas a gente precisa relacionar isso com o conjunto
, onde estamos trabalhando.
Passo 5
Vamos pensar no máximo divisor comum de
e
em
, que a gente chama de
. Esse mdc é o maior polinômio que divide tanto
quanto
nesse conjunto. Como
é irredutível, os únicos candidatos para serem o mdc são as unidades ou o próprio
.
Passo 6
Mas como
e
têm uma raiz em comum, isso significa que o mdc não pode ser uma unidade (pois unidades não têm raízes). Portanto, o mdc tem que ser exatamente
(ou um múltiplo de
por uma constante racional, que podemos considerar como 1).
Passo 7
Se o mdc de
e
é
, isso quer dizer que
divide
. Ou seja, existe algum polinômio
tal que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
divide
, isto é,
.