Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem valores absolutos e indeterminações. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, analisar o comportamento da função próximo a e aplicar conceitos de limites laterais.
Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) , que é uma diferença de quadrados:
lim x 4 |2x - 3| cdot |x - 4|(x - 4)(x + 4)
Substituindo as fatorações no limite, temos:
Passo 4
Podemos simplificar a expressão cancelando o termo |x - 4|x - 4 = 1 & se x > 4 -1 & se x < 4 que aparece no numerador e no denominador. Porém, como temos o valor absoluto lim x 4 |2x - 3|x + 4 cdot |x - 4|x - 4 = lim x 4 |2x - 3|x + 4 cdot sgn(x - 4) , precisamos considerar a definição de valor absoluto, que depende do sinal de .
Para próximo de 4, mas diferente de 4:
Assim, a expressão simplificada fica:
onde representa a função sinal.
Passo 5
Vamos calcular o limite separadamente pelas abordagens à esquerda e à direita de sgn(x - 4) = 1 .
Quando lim x 4^+ |2x - 3|x + 4 cdot 1 = |2(4) - 3|4 + 4 = |8 - 3|8 = 58 se aproxima de 4 pela direita ( sgn(x - 4) = -1 ):