Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem valores absolutos e indeterminações. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, analisar o comportamento da função próximo a e aplicar conceitos de limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, fatorando:
Portanto, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador , que é uma diferença de quadrados:
Substituindo as fatorações no limite, temos:

Passo 4

Podemos simplificar a expressão cancelando o termo que aparece no numerador e no denominador. Porém, como temos o valor absoluto , precisamos considerar a definição de valor absoluto, que depende do sinal de .
Para próximo de 4, mas diferente de 4:
Assim, a expressão simplificada fica:
onde representa a função sinal.

Passo 5

Vamos calcular o limite separadamente pelas abordagens à esquerda e à direita de .
Quando se aproxima de 4 pela direita ( ):
Quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite não existe.

Exercícios relacionados

Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(vi)
Estude a continuidade das funções a seguir.
(b)