lim x p ln x-ln px-p

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está ligado ao cálculo de limites e, mais especificamente, à derivada da função logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. Matematicamente, a derivada de f'(p) = lim x p f(x) - f(p)x - p em é definida por:

Passo 3

Observando o nosso limite, vemos que ele tem a mesma forma da definição da derivada. Aqui, a função é o logaritmo natural, ou seja, .

Passo 4

Então, podemos identificar que:
lim x p ln x - ln px - p = f'(p)
Onde .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a derivada de f'(x) = 1x . Sabemos que:

Passo 6

Aplicando isso no ponto f'(p) = 1p , temos:

Resposta

lim x p ln x - ln px - p = 1p

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