lim x p log x-log px-p

Passo 1

Então, a gente tem o limite . Esse exercício está ligado ao cálculo de limites, especificamente utilizando conceitos de derivadas. Vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver.

Passo 3

Uma maneira de resolver isso é usando a definição da derivada. A derivada de uma função f'(p) = lim x p f(x) - f(p)x - p em um ponto é definida como:
Comparando com o nosso limite, podemos ver que .

Passo 4

Então, aplicando a definição da derivada, temos:
lim x p log x - log px - p = (log x)' gr|x = p
Sabemos que a derivada de é .

Passo 5

Portanto, substituindo (log x)' gr|x = p = 1p por , a derivada fica:

Resposta

O limite é igual a .

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