Passo 1
Vamos resolver o seguinte limite:
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes e simplificar a fração para encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Obtemos uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador. Observe que
pode ser reescrito:
Portanto, a expressão original fica:
Passo 4
Para facilitar a simplificação, vamos fatorar
no numerador:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador com o
no denominador. Para isso, vamos lembrar que:
Então, quando
,
. A expressão se torna:
Passo 6
Simplificamos a fração dividindo ambos os termos por
:
Agora, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para racionalizar:
Passo 7
Explicando a racionalização: multiplicar pelo conjugado ajuda a eliminar a raiz no numerador. Vamos calcular o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Dividindo o numerador
por
:
Mas como
,
e
. Isso indica que precisamos reconsiderar nossa abordagem inicial.
Passo 9
Vamos tentar outra estratégia: multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado original sem substituir
. Retornando à expressão original:
Passo 10
Calculando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 11
Fatorando o numerador
:
Substituindo na expressão:
Passo 12
Agora, podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, já que estamos considerando
próximo do limite:
Passo 13
Substituindo
na expressão simplificada:
Ainda temos uma indeterminação. Parece que precisamos de mais simplificação.
Passo 14
Vamos analisar o comportamento conforme
se aproxima de 3 pela direita (
). Seja
, com
. Então, substituímos
:
Passo 15
Simplificando a raiz no denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 16
Dividindo o numerador por
:
À medida que
,
e
. Portanto:
Resposta
O limite diverge para infinito. Portanto,