lim x 3 raizx^2-9-raizx-3x-3

Passo 1

Vamos resolver o seguinte limite:
lim x 3 raizx^2-9-raizx-3x-3
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar manipular expressões com raízes e simplificar a fração para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos x = 3 diretamente na expressão:
raiz3^2-9-raiz3-33-3 = raiz9-9-raiz00 = 0 - 00
Obtemos uma indeterminação do tipo 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador. Observe que raizx^2-9 pode ser reescrito:
raizx^2-9 = raiz(x-3)(x+3)
Portanto, a expressão original fica:
raiz(x-3)(x+3) - raizx-3x-3

Passo 4

Para facilitar a simplificação, vamos fatorar raizx-3 no numerador:
raizx-3 cdot raizx+3 - raizx-3x-3 = raizx-3 (raizx+3 - 1)x-3

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo raizx-3 no numerador com o x-3 no denominador. Para isso, vamos lembrar que:
raizx-3 = raizt, onde t = x-3
Então, quando x 3, t 0. A expressão se torna:
raizt (raizt + 6 - 1)t

Passo 6

Simplificamos a fração dividindo ambos os termos por raizt:
raizt + 6 - 1raizt
Agora, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para racionalizar:
(raizt + 6 - 1)(raizt + 6 + 1)raizt (raizt + 6 + 1)

Passo 7

Explicando a racionalização: multiplicar pelo conjugado ajuda a eliminar a raiz no numerador. Vamos calcular o numerador:
(raizt + 6 - 1)(raizt + 6 + 1) = (raizt + 6)^2 - (1)^2 = t + 6 - 1 = t + 5
Então, a expressão fica:
t + 5raizt (raizt + 6 + 1)

Passo 8

Dividindo o numerador t + 5 por raizt:
traizt + 5raizt = raizt + 5raizt
Mas como t 0, raizt 0 e 5raizt infty. Isso indica que precisamos reconsiderar nossa abordagem inicial.

Passo 9

Vamos tentar outra estratégia: multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado original sem substituir t = x - 3. Retornando à expressão original:
raizx^2-9-raizx-3x-3 cdot raizx^2-9+raizx-3raizx^2-9+raizx-3

Passo 10

Calculando o numerador:
(raizx^2-9-raizx-3)(raizx^2-9+raizx-3) = (raizx^2-9)^2 - (raizx-3)^2 = (x^2-9) - (x-3) = x^2 - 9 - x + 3 = x^2 - x - 6
Então, a expressão fica:
x^2 - x - 6(x-3)(raizx^2-9+raizx-3)

Passo 11

Fatorando o numerador x^2 - x - 6:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Substituindo na expressão:
(x - 3)(x + 2)(x - 3)(raizx^2-9+raizx-3) = x + 2raizx^2-9+raizx-3

Passo 12

Agora, podemos cancelar o fator (x - 3) no numerador e denominador, já que estamos considerando x neq 3 próximo do limite:
x + 2raizx^2-9+raizx-3

Passo 13

Substituindo x = 3 na expressão simplificada:
3 + 2raiz3^2-9+raiz3-3 = 5raiz9-9 + raiz0 = 50 + 0
Ainda temos uma indeterminação. Parece que precisamos de mais simplificação.

Passo 14

Vamos analisar o comportamento conforme x se aproxima de 3 pela direita ( x 3^+). Seja h = x - 3, com h 0^+. Então, substituímos x = 3 + h:
(3 + h) + 2raiz(3 + h)^2-9+raizh = 5 + hraiz9 + 6h + h^2 - 9 + raizh = 5 + hraiz6h + h^2 + raizh

Passo 15

Simplificando a raiz no denominador:
raiz6h + h^2 = raizh(6 + h) = raizh cdot raiz6 + h
Então, a expressão fica:
5 + hraizh (raiz6 + h + 1)

Passo 16

Dividindo o numerador por raizh:
5 + hraizh (raiz6 + h + 1) = 5raizh (raiz6 + h + 1) + hraizh (raiz6 + h + 1) = 5raizh (raiz6 + h + 1) + raizh(raiz6 + h + 1)
À medida que h 0^+, raizh 0 e raiz6 + h raiz6. Portanto:
50 cdot (raiz6 + 1) + 0raiz6 + 1 = infty

Resposta

O limite diverge para infinito. Portanto,
lim x 3 raizx^2-9-raizx-3x-3 = +infty

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