lim x -2 pm |x+2|x^2-4.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está no conteúdo de limites, especificamente considerando limites laterais e o uso de valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões racionais e a função valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) pode ser fatorado. Sabemos que:

Passo 3

Então, reescrevemos o limite substituindo a fatoração:
|x+2|x^2-4 = |x+2|(x - 2)(x + 2)

Passo 4

Perceba que o termo no numerador e o no denominador são semelhantes, mas precisamos considerar o valor absoluto. A forma como se comporta depende de como se aproxima de .

Passo 5

Vamos analisar os dois casos separadamente: quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 6

Caso 1: |x+2|(x - 2)(x + 2) = -(x+2)(x - 2)(x + 2) = -1x - 2 (pela esquerda)
Quando limx -2^- -1x - 2 = -1-2 - 2 = -1-4 = 14 se aproxima de pela esquerda, é negativo. Portanto, . Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite:

Passo 7

Caso 2: |x+2|(x - 2)(x + 2) = x+2(x - 2)(x + 2) = 1x - 2 (pela direita)
Quando limx -2^+ 1x - 2 = 1-2 - 2 = 1-4 = -14 se aproxima de pela direita, é positivo. Portanto, . Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite:

Resposta

O limite resulta em:
  • Para :
  • Para :
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

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