lim x 0 raiz1+x-raiz1-xx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando lim x 0 raiz1+x-raiz1-xx se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções de radiciação e limites. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Vamos começar simplificando o numerador que contém as raízes quadradas. Uma técnica útil para lidar com expressões que têm diferenças de raízes é a racionalização. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela soma das raízes, ou seja, .

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada, temos:
raiz1+x-raiz1-xx times raiz1+x+raiz1-xraiz1+x+raiz1-x = (1+x)-(1-x)x(raiz1+x+raiz1-x)
Aqui usamos a propriedade .

Passo 4

Simplificando o numerador:
(1 + x) - (1 - x) = 1 + x - 1 + x = 2x
Então, a expressão fica:
2xx(raiz1+x+raiz1-x)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o frac2raiz1+x+raiz1-x no numerador e no denominador:
2raiz1+0+raiz1-0 = 21 + 1 = 22 = 1
Agora, substituímos na expressão:

Resposta

O limite quando se aproxima de 0 é igual a 1.

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