Prove que:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a derivada do vetor unitário em relação ao tempo é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de vetores e como derivar uma expressão que envolve a normalização de um vetor.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada do vetor . Para isso, usamos a regra do quociente para derivadas, que também se aplica a vetores. A derivada de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Aplicando a regra do quociente na nossa expressão:

Passo 4

Agora, precisamos derivar . A norma de é dada por . A derivada disso em relação a é:

Passo 5

Substituindo a derivada de na expressão anterior:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, provamos que:

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Calcule, usando o método que você achar conveniente: ;
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