Prove que: (r(t)|r(t)|)^prime=r^prime(t)|r(t)|-r(t) cdot r^prime(t)|r(t)|^3 r(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a derivada do vetor unitário em relação ao tempo é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de vetores e como derivar uma expressão que envolve a normalização de um vetor.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada do vetor (u(t)v(t))' = u^,prime(t) v(t) - u(t) v^,prime(t)v(t)^2 . Para isso, usamos a regra do quociente para derivadas, que também se aplica a vetores. A derivada de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Aplicando a regra do quociente na nossa expressão:
(r(t)|r(t)|)^prime = r^,prime(t) |r(t)| - r(t) ddt|r(t)||r(t)|^2

Passo 4

Agora, precisamos derivar ddt|r(t)| = 12raizr(t) cdot r(t) cdot 2 r(t) cdot r^,prime(t) = r(t) cdot r^,prime(t)|r(t)| . A norma de é dada por . A derivada disso em relação a é:

Passo 5

Substituindo a derivada de (r(t)|r(t)|)^prime = r^,prime(t) |r(t)| - r(t) ( r(t) cdot r^,prime(t)|r(t)| )|r(t)|^2 na expressão anterior:

Passo 6

Simplificando a expressão:
(r(t)|r(t)|)^prime = r^,prime(t)|r(t)| - r(t) cdot r^,prime(t)|r(t)|^3 r(t)

Resposta

Portanto, provamos que:
(r(t)|r(t)|)^prime = r^,prime(t)|r(t)| - r(t) cdot r^,prime(t)|r(t)|^3 r(t)

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