Prove que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a derivada do vetor unitário
em relação ao tempo
é igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas de vetores e como derivar uma expressão que envolve a normalização de um vetor.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada do vetor
. Para isso, usamos a regra do quociente para derivadas, que também se aplica a vetores. A derivada de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente na nossa expressão:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. A norma de
é dada por
. A derivada disso em relação a
é:
Passo 5
Substituindo a derivada de
na expressão anterior:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Calcule, usando o método que você achar conveniente:
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