lim x 1 raiz2-x^2-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de uma expressão quando lim x 1 raiz2-x^2-1x-1 se aproxima de 1. A expressão é:
Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso. Precisamos simplificar a expressão para conseguir calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, observamos que se substituíssemos raiz2-1^2-11-1 = 1-10 = 00 diretamente na expressão, teríamos:
Isso é um caso de indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar pelo conjugado. O conjugado de raiz2-x^2-1x-1 times raiz2-x^2+1raiz2-x^2+1 = (raiz2-x^2)^2 - 1^2(x-1)(raiz2-x^2+1) é . Vamos multiplicar numerador e denominador por esse conjugado:
Usando a identidade .

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador:
(raiz2-x^2)^2 - 1^2 = (2 - x^2) - 1 = 1 - x^2
Então, nossa expressão fica:
1 - x^2(x-1)(raiz2-x^2+1)

Passo 5

Perceba que (1 - x)(1 + x)(x - 1)(raiz2-x^2+1) pode ser fatorado como -(x - 1)(1 + x)(x - 1)(raiz2-x^2+1) . Então:
Note que , então podemos reescrever:

Passo 6

Agora, cancelamos o termo -(1 + x)raiz2-x^2+1 que aparece no numerador e no denominador:
Agora, não temos mais a indeterminação , e podemos calcular o limite substituindo :

Passo 7

Substituindo -(1 + 1)raiz2-1^2+1 = -2raiz1+1 = -21 + 1 = -22 = -1 :

Resposta

O limite é igual a .

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