lim x 2^- raiz4 x+8-x^2+3 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
lim x 2^- raiz4 x+8-x^2+3 x-2
Estamos lidando com cálculo de limites, especificamente olhando para o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções no numerador e denominador se comportam perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: 4x + 8 >= 0 4x >= -8 x >= -2 . Isso é uma raiz quadrada, e para que ela esteja definida, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Vamos verificar:
Como estamos analisando próximo a 2, tudo está bem aqui.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: - x^2 + 3x - 2 = - (x^2 - 3x + 2) . Podemos reescrever isso para facilitar:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Vamos fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
- (x - 1)(x - 2)
Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando raiz4 cdot 2 + 8 = raiz16 = 4 se aproxima de 2 pela esquerda ( - (2 - 1)(2 - 2) = - (1)(0) = 0 ).
Numerador:
Substituindo (x - 1) = 1.9 - 1 = 0.9 (positivo) (x - 2) = 1.9 - 2 = -0.1 (negativo) :
- (0.9)(-0.1) = - (-0.09) = 0.09 (positivo)
Então, o numerador tende a 4.
Denominador:
Substituindo :
Mas precisamos analisar o sinal do denominador quando se aproxima de 2 pela esquerda.
Para um pouco menor que 2 (por exemplo, 1.9):
Então:
Ou seja, o denominador está se aproximando de 0 positivo.

Passo 5

Agora, juntando as informações:
  • O numerador está se aproximando de 4.
  • O denominador está se aproximando de 0 pelo lado positivo.
Quando dividimos um número positivo por um número que se aproxima de zero positivo, o resultado tende a .

Resposta

Portanto,
lim x 2^- raiz4 x+8-x^2+3 x-2 = +infty

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