Sejam D um domínio infinito e f(x), g(x) in D[x]. Então,
f(x)=g(x) <=> f(α)=g(α), ∀ α ∈ D

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos dois polinômios, e , que pertencem a , onde é um domínio infinito. A afirmação que queremos provar é que se e somente se, para todo em , . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, especificamente trabalhando com polinômios e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender como a igualdade de polinômios se relaciona com suas substituições em elementos do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Se dois polinômios são iguais, todos os seus coeficientes correspondentes são iguais, ou seja, eles são exatamente a mesma expressão. Isso naturalmente implica que, para qualquer valor que a gente coloque no lugar de , os resultados serão iguais. Então, se , então necessariamente para qualquer em .

Passo 3

Agora, vamos pensar no contrário: se para todo em , , então será que precisa ser igual a ? Aqui entra uma propriedade importante dos polinômios sobre um domínio infinito. Se dois polinômios têm o mesmo valor para infinitos pontos diferentes, eles têm que ser o mesmo polinômio. Isso porque a diferença entre eles seria um polinômio que tem infinitas raízes, e o único polinômio que tem infinitas raízes é o polinômio zero. Portanto, , ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se para todo em .

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