Sejam
um domínio infinito e
. Então,
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos dois polinômios,
e
, que pertencem a
, onde
é um domínio infinito. A afirmação que queremos provar é que
se e somente se, para todo
em
,
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, especificamente trabalhando com polinômios e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender como a igualdade de polinômios se relaciona com suas substituições em elementos do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Se dois polinômios são iguais, todos os seus coeficientes correspondentes são iguais, ou seja, eles são exatamente a mesma expressão. Isso naturalmente implica que, para qualquer valor que a gente coloque no lugar de
, os resultados serão iguais. Então, se
, então necessariamente
para qualquer
em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no contrário: se para todo
em
,
, então será que
precisa ser igual a
? Aqui entra uma propriedade importante dos polinômios sobre um domínio infinito. Se dois polinômios têm o mesmo valor para infinitos pontos diferentes, eles têm que ser o mesmo polinômio. Isso porque a diferença entre eles seria um polinômio que tem infinitas raízes, e o único polinômio que tem infinitas raízes é o polinômio zero. Portanto,
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
para todo
em
.