Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o limite:
Esse exercício faz parte do estudo de limites na matemática, mais especificamente, estamos lidando com limites que envolvem funções com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e simplificar frações que dão uma forma indeterminada, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando tentamos substituir
diretamente na expressão:
Isso resulta em uma forma indefinida
, que não nos dá informação útil. Para resolver isso, vamos usar o método de racionalização do numerador, que ajuda a eliminar as raízes no numerador.
Passo 3
Racionalizar o numerador significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A expressão conjugada de
é
. Então, vamos multiplicar a fração por
:
Passo 4
Simplificando os quadrados das raízes:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a expressão. Observamos que o
no denominador pode ser cancelado se expressarmos o restante de forma adequada. Reescrevemos a fração:
Aqui, notamos que
está se aproximando de 5, então podemos simplificar mais:
Passo 6
Para resolver o limite, substituímos
por 5 na expressão simplificada:
Isso ainda dá uma forma indefinida, então precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 7
Observando que ainda temos uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em
ou
. A regra diz que:
Desde que as derivadas existam e o limite da nova fração exista.
Passo 8
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Derivada de
:
Denominador:
Derivada de
:
Passo 9
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão:
A segunda parte
tende ao infinito, então precisamos analisar o comportamento.
Resposta
Após aplicar a regra de L’Hôpital, observamos que o limite tende a
. Portanto,