lim x 0 e^x-sen x-1ln (1+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando lim x 0 e^x-sin x-1ln (1+x) se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais, seno e logaritmo natural. Para resolver esse limite, vamos precisar usar as séries de Taylor dessas funções em torno de . As séries de Taylor ajudam a aproximar funções por polinômios, o que facilita a análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada função no numerador e no denominador usando a série de Taylor até o terceiro termo, já que estamos interessados no comportamento próximo de e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots .
A série de Taylor do sin x = x - x^36 + dots é:
ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - dots
A série de Taylor do é:
E a série de Taylor do é:

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão original:
e^x - sin x - 1ln(1+x) = (1 + x + x^22 + x^36) - (x - x^36) - 1x - x^22 + x^33
Vamos simplificar o numerador:
(1 + x + x^22 + x^36) - (x - x^36) - 1 = x^22 + x^33
E o denominador já está expandido até o terceiro termo:
x - x^22 + x^33

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão simplificada:
x^22 + x^33x - x^22 + x^33 = x^2(12 + x3)x(1 - x2 + x^23)
Podemos cancelar um x(12 + x3)1 - x2 + x^23 do numerador e do denominador:
x cdot 121 = x2
Agora, ao se aproximar de 0, os termos com no numerador e denominador vão zero, então ficamos com:
Então, o limite de quando tende a 0 é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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