Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais, seno e logaritmo natural. Para resolver esse limite, vamos precisar usar as séries de Taylor dessas funções em torno de
. As séries de Taylor ajudam a aproximar funções por polinômios, o que facilita a análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir cada função no numerador e no denominador usando a série de Taylor até o terceiro termo, já que estamos interessados no comportamento próximo de
.
A série de Taylor do
é:
A série de Taylor do
é:
E a série de Taylor do
é:
Passo 3
Agora, substituímos essas expansões na expressão original:
Vamos simplificar o numerador:
E o denominador já está expandido até o terceiro termo:
Passo 4
Agora, reescrevemos a expressão simplificada:
Podemos cancelar um
do numerador e do denominador:
Agora, ao
se aproximar de 0, os termos com
no numerador e denominador vão zero, então ficamos com:
Então, o limite de
quando
tende a 0 é 0.
Resposta
O limite é igual a 0.