Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor. integrale^infty d xx ln x.

Passo 1

Então, a gente tem uma integral definida de até o infinito da função . O problema quer saber se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito, e se sim, qual é esse valor. Para resolver, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral:
integrale^infty dxx ln x
Sabemos que integrar até o infinito é uma integral imprópria. Para verificar a convergência, vamos calcular o limite quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja du = 1x dx Rightarrow dx = x , du . Então, a derivada de integral dxx ln x = integral x , dux , u = integral duu em relação a é:
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

A integral de integrale^infty dxx ln x = limb to infty integralln e^ln b duu = limb to infty [ln u]ln e^ln b em relação a limb to infty (ln (ln b) - ln 1) = limb to infty ln (ln b) é . Portanto:
Como e tende ao infinito quando tende ao infinito, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite:
limb to infty ln (ln b)
Sabemos que tende ao infinito quando tende ao infinito, então também tende ao infinito. Portanto, a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente, ou seja, ela não converge.

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