Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Então, a gente tem uma integral definida de
até o infinito da função
. O problema quer saber se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito, e se sim, qual é esse valor. Para resolver, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral:
Sabemos que integrar até o infinito é uma integral imprópria. Para verificar a convergência, vamos calcular o limite quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
A integral de
em relação a
é
. Portanto:
Como
e
tende ao infinito quando
tende ao infinito, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite:
Sabemos que
tende ao infinito quando
tende ao infinito, então
também tende ao infinito. Portanto, a integral não converge.
Resposta
A integral
é divergente, ou seja, ela não converge.
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