Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln (nn+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular a soma dela. Vamos usar conceitos de séries infinitas e algumas técnicas de análise de séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: ln (nn+1) = ln(n) - ln(n+1) . Sabemos que:
Essa expressão nos dá uma dica de que a série pode ser telescópica, ou seja, muitas parcelas vão se cancelar quando somarmos os termos.

Passo 3

Vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
S &= sumn=1^infty [ln(n) - ln(n+1)] &= (ln1 - ln2) + (ln2 - ln3) + (ln3 - ln4) + dotsb
Observamos que cancela com , com , e assim por diante. Esse tipo de série é chamada de telescópica porque os termos intermediários se anulam.

Passo 4

Após o cancelamento, restará apenas o primeiro termo e o limite quando S = ln1 - limn to infty ln(n+1) tende ao infinito:
S = 0 - infty = -infty
Sabemos que e . Portanto:

Passo 5

Como a soma dos termos tende para , isso significa que a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge, pois a soma dos seus termos tende para .

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