Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular a soma dela. Vamos usar conceitos de séries infinitas e algumas técnicas de análise de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Sabemos que:
Essa expressão nos dá uma dica de que a série pode ser telescópica, ou seja, muitas parcelas vão se cancelar quando somarmos os termos.
Passo 3
Vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Observamos que
cancela com
,
com
, e assim por diante. Esse tipo de série é chamada de telescópica porque os termos intermediários se anulam.
Passo 4
Após o cancelamento, restará apenas o primeiro termo e o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
e
. Portanto:
Passo 5
Como a soma dos termos tende para
, isso significa que a série não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge, pois a soma dos seus termos tende para
.
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Encontre a área da superfície
.
(a) é o cone de altura
e raio da base
;
(a)