lim x -2 x^3-x^2-x+10x^2+3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o conteúdo de limites e, para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-2)^3 - (-2)^2 - (-2) + 10(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 - 4 + 2 + 104 - 6 + 2 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples:
A gente está com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator. Vamos começar fatorando o denominador:
Então, o denominador fatorado é .

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador 2^3 - 2^2 - 2 + 10 = 8 - 4 - 2 + 10 = 12 neq 0 . Para fatorar um polinômio de terceiro grau, podemos tentar encontrar uma raiz utilizando o método de tentativas. Testando (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 10 = -1 - 1 + 1 + 10 = 9 neq 0 :
1^3 - 1^2 - 1 + 10 = 1 - 1 - 1 + 10 = 9 neq 0
Vamos testar :
Vamos tentar :
Parece que não encontramos uma raiz fácil. Vamos usar a divisão polinomial para fatorar.

Passo 5

Vamos dividir o numerador x^3 - x^2 - x + 10 div (x + 2) pelo denominador fatorado x^3 - x^2 - x + 10 = (x + 2)(x^2 - 3x + 5) , já que estamos interessados no ponto .
Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini:
Após a divisão, encontramos:

Passo 6

Agora que o numerador está fatorial, podemos reescrever a função original:
(x + 2)(x^2 - 3x + 5)(x + 1)(x + 2) = x^2 - 3x + 5x + 1
Note que cancelamos o fator que estava no numerador e no denominador.

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo (-2)^2 - 3(-2) + 5-2 + 1 = 4 + 6 + 5-1 = 15-1 = -15 na expressão simplificada:

Resposta

O limite da função quando se aproxima de é .

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