lim (x, y) (1,1) cos raiz[3]|x y|-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções de duas variáveis, além de funções contínuas e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e como aplicar a continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função cujo limite queremos calcular:
lim (x, y) (1,1) cos raiz[3]|x y| - 1
Aqui, temos uma função composta: a função cosseno ( ) está aplicando-se a uma raiz cúbica ( ) que, por sua vez, inclui o valor absoluto de menos 1.

Passo 3

Vamos começar analisando o que acontece dentro da raiz cúbica quando |x y| - 1 se aproxima de |1 times 1| - 1 = 1 - 1 = 0 . Calculamos:
Quando e , temos:
Então, quando se aproxima de , se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a raiz cúbica a esse resultado:
raiz[3]|x y| - 1 raiz[3]0 = 0
A raiz cúbica de 0 é 0. Então, o argumento da função cosseno está se aproximando de 0.

Passo 5

Em seguida, aplicamos a função cosseno ao resultado obtido:
cos raiz[3]|x y| - 1 cos(0)
Sabemos que .

Passo 6

Como todas as funções envolvidas ( , raiz cúbica e cosseno) são contínuas no ponto considerado, podemos concluir que o limite da composição dessas funções é a composição dos limites individuais.

Resposta

lim (x, y) (1,1) cos raiz[3]|x y| - 1 = 1

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