Resolva os itens a seguir.
Se é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral de linha ao longo de um segmento de reta que liga os pontos e . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha, especificamente da forma . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o segmento de reta e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . Uma maneira simples de fazer isso é usar um parâmetro que varia de 0 a 1. Assim, podemos expressar e em termos de :
Aqui, quando , estamos no ponto e quando , chegamos ao ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a , que são necessárias para calcular e :
Portanto, temos:

Passo 4

Substituímos , , e na integral original:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Observamos que os termos com se cancelam:

Passo 6

Agora, a expressão dentro da integral é constante em relação a , então podemos tirar os termos fora da integral:
Calculando a integral de de 0 a 1:
Perceba que e se cancelam:

Resposta

Portanto,

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(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que é um fator integrante da mesma.