Resolva os itens a seguir.
Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que
integralC x d y-y d x=x1 y2-x2 y1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral de linha ao longo de um segmento de reta que liga os pontos e . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha, especificamente da forma . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o segmento de reta e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta x(t) = x1 + (x2 - x1) t . Uma maneira simples de fazer isso é usar um parâmetro y(t) = y1 + (y2 - y1) t que varia de 0 a 1. Assim, podemos expressar e em termos de :
Aqui, quando , estamos no ponto e quando , chegamos ao ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = x2 - x1 e dydt = y2 - y1 em relação a dx = (x2 - x1) , dt , que são necessárias para calcular dy = (y2 - y1) , dt e :
Portanto, temos:

Passo 4

Substituímos integralC x , dy - y , dx = integral0^1 [ x(t) cdot dy - y(t) cdot dx ] , = integral0^1 [ (x1 + (x2 - x1)t) cdot (y2 - y1) - (y1 + (y2 - y1)t) cdot (x2 - x1) ] dt , e na integral original:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= integral0^1 [ x1(y2 - y1) + (x2 - x1)t(y2 - y1) - y1(x2 - x1) - (y2 - y1)t(x2 - x1) ] dt
Observamos que os termos com = integral0^1 [ x1(y2 - y1) - y1(x2 - x1) ] dt se cancelam:

Passo 6

Agora, a expressão dentro da integral é constante em relação a = [ x1(y2 - y1) - y1(x2 - x1) ] integral0^1 dt , então podemos tirar os termos fora da integral:
= [ x1 y2 - x1 y1 - y1 x2 + y1 x1 ] cdot (1 - 0)
Calculando a integral de = x1 y2 - y1 x2 de 0 a 1:
Perceba que e se cancelam:

Resposta

Portanto,
integralC x , dy - y , dx = x1 y2 - x2 y1

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