Resolva os itens a seguir.
Se
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral de linha ao longo de um segmento de reta
que liga os pontos
e
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha, especificamente da forma
. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o segmento de reta e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. Uma maneira simples de fazer isso é usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. Assim, podemos expressar
e
em termos de
:
Aqui, quando
, estamos no ponto
e quando
, chegamos ao ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para calcular
e
:
Portanto, temos:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Observamos que os termos com
se cancelam:
Passo 6
Agora, a expressão dentro da integral é constante em relação a
, então podemos tirar os termos fora da integral:
Calculando a integral de
de 0 a 1:
Perceba que
e
se cancelam:
Resposta
Portanto,
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(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.