lim (x, y) (0,0) x^3+yx^6-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função x^3+yx^6-y quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos trabalhar com limites de funções de duas variáveis, que é um assunto de cálculo multivariável. Para resolver, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde y = 0. Substituindo y por 0 na função, temos:
x^3+0x^6-0 = x^3x^6 = 1x^3
Agora, quando x se aproxima de 0, 1x^3 tende ao infinito. Isso já nos dá uma indicação de que o limite pode não existir, mas vamos verificar outro caminho para confirmar.

Passo 3

Vamos agora considerar o caminho onde x = 0. Substituindo x por 0, a função fica:
0^3+y0^6-y = y-y = -1
Aqui, à medida que y se aproxima de 0, o valor da função tende a -1.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de (0,0) pelo caminho y = 0, o limite tende ao infinito, enquanto pelo caminho x = 0, o limite tende a -1. Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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