lim (x, y) (0,0) x raizx y^2raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolve limites em funções de várias variáveis e a gente vai precisar entender como analisar esses limites, possivelmente usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
x raizx y^2raizx^2+y^2
Para facilitar, vamos reescrever x^3/2 y^2raizx^2+y^2 como , então a função fica:

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde (r cos theta)^3/2 (r sin theta)^2raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e . Em coordenadas polares, representa a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 4

Simplificando os termos:
r^3/2 cos^3/2 theta cdot r^2 sin^2 thetaraizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que r^3/2 cos^3/2 theta cdot r^2 sin^2 thetar = r^(3/2 + 2 - 1) cos^3/2 theta sin^2 theta = r^5/2 cos^3/2 theta sin^2 theta , então:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento quando . A função tende a zero quando se aproxima de zero, independentemente dos valores de e , que estão sempre limitados entre -1 e 1.

Resposta

Portanto, o limite da função quando lim (x, y) (0,0) x raizx y^2raizx^2+y^2 = 0 se aproxima de é .

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