lim (x, y) (0,0) x^8-y^8x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em cálculo multivariável e analisar se o limite existe e qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que acontece com a função quando e ficam próximos de zero. Uma boa maneira de começar é ver o que acontece ao longo de diferentes caminhos que levam a . Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, provavelmente ele existe e é esse valor comum.

Passo 3

Vamos tentar o caminho onde x^8 - 0^8x^4 + 0^4 = x^8x^4 = x^4 . Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos testar outro caminho, por exemplo, x^8 - x^8x^4 + x^4 = 02x^4 = 0 . Substituindo:
Nesse caso, o limite também é 0.

Passo 5

Para ter mais certeza, vamos generalizar e escolher x^8 - (kx)^8x^4 + (kx)^4 = x^8(1 - k^8)x^4(1 + k^4) = x^4 cdot 1 - k^81 + k^4 , onde é uma constante qualquer. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, também vai para 0, independentemente do valor de .

Passo 6

Como testamos diferentes caminhos (incluindo o geral ) e em todos eles o limite foi 0, podemos concluir que o limite realmente existe e é igual a 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^8-y^8x^4+y^4 = 0

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