lim (x, y) (0,0) x y^2 sen(x+y)raizx^2+y^2

Passo 1

Então, vamos entender a questão. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em várias variáveis, propriedades do seno e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que está acontecendo no numerador e no denominador. No numerador, temos e no denominador, . Sabemos que quando o argumento do seno está perto de zero, é aproximadamente igual a . Ou seja, quando é pequeno.

Passo 3

Como f(x, y) approx x y^2 (x + y)raizx^2+y^2 está se aproximando de , a soma também está se aproximando de zero. Então, podemos aproximar por . Substituindo isso na função, fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Multiplicando os termos no numerador:
x y^2 (x + y) = x^2 y^2 + x y^3
Então, a função fica:
f(x, y) approx x^2 y^2 + x y^3raizx^2+y^2

Passo 5

Para encontrar o limite, vamos analisar os termos. No numerador, temos e , que são termos de ordem maior (mais próximos de zero) comparados com o denominador . Conforme se aproxima de , esses termos pequenos no numerador tornam a fração toda próximo de zero.

Resposta

O limite é .

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