Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites indo por diferentes caminhos e usar propriedades das funções trigonométricas e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que temos uma função que envolve
,
, e o seno de
. Para facilitar, vamos considerar substituir
por
, onde
é uma constante. Isso ajuda a analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de 0.
Passo 3
Substituindo
na função, temos:
Aqui, simplificamos
. Como estamos analisando o limite quando
tende a 0, podemos considerar
, então
.
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão:
Sabemos que
quando
é próximo de 0. Então, podemos aproximar:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão:
Agora, percebemos que o numerador é proporcional a
, enquanto o denominador é uma constante em função de
.
Passo 6
À medida que
,
. Portanto, o limite da função ao longo dessa trajetória é 0:
Passo 7
Testamos diferentes caminhos e sempre obtemos o limite 0. Isso sugere que, independentemente da trajetória que
siga para chegar em
, o limite será o mesmo.
Resposta
0
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Considere a superfície de equação
. Classifique e esboce a intersecção dessa superfície com:
Com o plano xy.
Com o plano xy.