lim (x, y) (0,0) x^2 y sen(x-y)raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites indo por diferentes caminhos e usar propriedades das funções trigonométricas e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que temos uma função que envolve , , e o seno de . Para facilitar, vamos considerar substituir por , onde é uma constante. Isso ajuda a analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 0.

Passo 3

Substituindo x^2 cdot kx cdot sen(x - kx)raizx^2 + (kx)^2 = kx^3 cdot sen(x(1 - k))x raiz1 + k^2 na função, temos:
Aqui, simplificamos . Como estamos analisando o limite quando tende a 0, podemos considerar , então .

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
kx^3 cdot sen(x(1 - k))x raiz1 + k^2 = kx^2 cdot sen(x(1 - k))raiz1 + k^2
Sabemos que sen(x(1 - k)) approx x(1 - k) quando é próximo de 0. Então, podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão:
kx^2 cdot x(1 - k)raiz1 + k^2 = k(1 - k)x^3raiz1 + k^2
Agora, percebemos que o numerador é proporcional a , enquanto o denominador é uma constante em função de .

Passo 6

À medida que limx to 0 k(1 - k)x^3raiz1 + k^2 = 0 , . Portanto, o limite da função ao longo dessa trajetória é 0:

Passo 7

Testamos diferentes caminhos e sempre obtemos o limite 0. Isso sugere que, independentemente da trajetória que siga para chegar em , o limite será o mesmo.

Resposta

0

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