Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites indo por diferentes caminhos e usar propriedades das funções trigonométricas e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que temos uma função que envolve , , e o seno de . Para facilitar, vamos considerar substituir por , onde é uma constante. Isso ajuda a analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 0.

Passo 3

Substituindo na função, temos:
Aqui, simplificamos . Como estamos analisando o limite quando tende a 0, podemos considerar , então .

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
Sabemos que quando é próximo de 0. Então, podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão:
Agora, percebemos que o numerador é proporcional a , enquanto o denominador é uma constante em função de .

Passo 6

À medida que , . Portanto, o limite da função ao longo dessa trajetória é 0:

Passo 7

Testamos diferentes caminhos e sempre obtemos o limite 0. Isso sugere que, independentemente da trajetória que siga para chegar em , o limite será o mesmo.

Resposta

0

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Considere a superfície de equação . Classifique e esboce a intersecção dessa superfície com:
Com o plano xy.