lim (x, y) (0,0) x y^2x^4+y^4.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de x y^2x^4+y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está ligado ao estudo de limites em funções de várias variáveis, onde a gente verifica o comportamento da função perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções se comportam em diferentes trajetórias que chegam ao ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a (0,0). Se encontrarmos que o limite é diferente dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar o caminho onde y = 0. Substituindo na função:
x cdot 0^2x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0
Então, ao longo de y = 0, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar o caminho onde x = 0. Substituindo na função:
0 cdot y^20^4 + y^4 = 0y^4 = 0
Então, ao longo de x = 0, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral, como y = kx, onde k é uma constante. Substituindo na função:
x (k x)^2x^4 + (k x)^4 = x cdot k^2 x^2x^4 + k^4 x^4 = k^2 x^3x^4(1 + k^4) = k^21 + k^4 cdot 1x
À medida que x se aproxima de 0, 1x tende ao infinito, então o limite tende a infinito ou menos infinito, dependendo do sinal de x. Isso indica que o limite não é o mesmo ao longo desse caminho.

Passo 6

Como o limite depende do caminho escolhido (em alguns caminhos é 0 e em outros tende ao infinito), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x y^2x^4+y^4 não existe.

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