lim (x, y) (0,0) x y(x-y)x^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite . Neste exercício, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 2

Uma técnica útil para resolver limites de funções de duas variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Isso simplifica a análise, já que em coordenadas polares, qualquer ponto pode ser representado como , onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
x = r cos theta y = r sin theta
Substituindo na expressão original:
x y (x - y)x^2 + y^2 = (r cos theta)(r sin theta)(r cos theta - r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador = r cos theta cdot r sin theta cdot r (cos theta - sin theta) = r^3 cos theta sin theta (cos theta - sin theta)
Denominador = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 cdot 1 = r^2

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
r^3 cos theta sin theta (cos theta - sin theta)r^2 = r cos theta sin theta (cos theta - sin theta)
Como , vamos analisar o comportamento dessa expressão.

Passo 6

Note que |r cos theta sin theta (cos theta - sin theta)| <= r cdot 1 cdot 1 cdot 2 = 2r , e são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Portanto, a expressão inteira é limitada por uma constante multiplicada por .
À medida que , .

Passo 7

Aplicando o Teorema do Envelopamento (ou Teorema do Squeeze), já que a expressão está limitada por algo que tende a zero, podemos concluir que:
limr 0 r cos theta sin theta (cos theta - sin theta) = 0

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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