Passo 1
Vamos analisar o limite
. Neste exercício, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Passo 2
Uma técnica útil para resolver limites de funções de duas variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Isso simplifica a análise, já que em coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo x.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Substituindo na expressão original:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Passo 5
Agora, nossa expressão fica:
Como
, vamos analisar o comportamento dessa expressão.
Passo 6
Note que
,
e
são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Portanto, a expressão inteira é limitada por uma constante multiplicada por
.
À medida que
,
.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Envelopamento (ou Teorema do Squeeze), já que a expressão está limitada por algo que tende a zero, podemos concluir que:
Resposta
O limite
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Determine se o conjunto dado é o gráfico de uma função:
e
.
Quais das seguintes funções são pares? E ímpares?