Passo 1

Vamos analisar o limite . Neste exercício, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que é um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 2

Uma técnica útil para resolver limites de funções de duas variáveis é converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Isso simplifica a análise, já que em coordenadas polares, qualquer ponto pode ser representado como , onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Substituindo na expressão original:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
Como , vamos analisar o comportamento dessa expressão.

Passo 6

Note que , e são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Portanto, a expressão inteira é limitada por uma constante multiplicada por .
À medida que , .

Passo 7

Aplicando o Teorema do Envelopamento (ou Teorema do Squeeze), já que a expressão está limitada por algo que tende a zero, podemos concluir que:

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Determine se o conjunto dado é o gráfico de uma função: e .
Quais das seguintes funções são pares? E ímpares?
.