Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial para . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)
Se e são duas soluções da equação diferencial com e sendo contínuas em um intervalo aberto , mostre que o wronskiano é dado por
onde é uma constante determinada que depende e , mas não de . Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.
Seja uma função diferenciável e seja dada por
Calcule e sabendo que e .