Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial para
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula do fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
Aqui,
e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Para resolver a integral , usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Nos Problemas de 1 até 8, resolver a equação diferencial proposta:
5)
5)
Se
e
são duas soluções da equação diferencial
com
e
sendo contínuas em um intervalo aberto
, mostre que o wronskiano é dado por
onde
é uma constante determinada que depende
e
, mas não de
. Esta fórmula é conhecida como teorema de Abel.
Seja
uma função diferenciável e seja
dada por
Calcule
e
sabendo que
e
.