Sendo beta=integral0^1 integralx^1 e^x / y d y d x então 2 beta+1 é igual a
a) 0
b) (1 / 2)
c) (1 / 2) e^2 x
d) e
e) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla e, depois, descobrir o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração para facilitar a resolução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a região de integração. Atualmente, a integral está organizada com indo de 0 a 1 e, para cada , vai de a 1. Às vezes, é mais fácil trocar a ordem das integrais para simplificar os cálculos. Então, vamos reescrever a integral com primeiro e depois .

Passo 3

Reescrevendo a integral, temos:
beta = integral0^1 integral0^y e^x / y , dx , dy
Agora, a gente vai calcular a integral interna . Para isso, vamos fazer uma substituição simples onde . Assim, ou .

Passo 4

Substituindo na integral interna:
integral0^y e^x / y , dx = y integral0^1 e^u , du
Calculando a integral de y [ e^u ]0^1 = y (e - 1) :

Passo 5

Agora, voltamos à integral externa com o resultado da parte interna:
beta = integral0^1 y (e - 1) , dy = (e - 1) integral0^1 y , dy
Calculando a última integral:
(e - 1) [ y^22 ]0^1 = (e - 1) cdot 12 = e - 12

Passo 6

Agora que temos 2beta + 1 = 2 cdot e - 12 + 1 = (e - 1) + 1 = e , vamos calcular :

Resposta

A alternativa correta é d) .

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