Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de alguns caminhos simples, como quando ou .
Se escolhermos , substituindo na função fica:
Portanto, ao longo do eixo , o limite é .
Passo 3
Agora, vamos escolher o caminho . Substituindo por na função:
Quando aproxima de , também aproxima de . Assim, ao longo da linha , o limite também é .
Passo 4
Vamos testar outro caminho, por exemplo, , onde é uma constante positiva. Substituindo na função:
Agora, analisamos o comportamento conforme :
Se , então e , então o limite é .
Se , já vimos que o limite é .
Se , digamos :
Novamente, o limite é .
Passo 5
Parece que, independentemente do caminho escolhido para , o limite tende a . Para confirmar isso rigorosamente, podemos usar a desigualdade para limitar o valor absoluto da função.
Vamos calcular . Sabendo que , podemos estimar:
Sem perda de generalidade, suponha que |x| <= |y|, então max(x^4, y^4) = y^4:
<= 3|x|^4 |y|y^4 = 3|x|^4 cdot |y|^-3
Como (x,y) (0,0), tanto |x| quanto |y| tendem a 0, fazendo com que |x|^4 cdot |y|^-3 0. Portanto, o limite é 0.
Resposta
O limite lim (x, y) (0,0) 3 x^4 yx^4+y^4 é igual a 0.