Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de alguns caminhos simples, como quando ou .
Se escolhermos , substituindo na função fica:
Portanto, ao longo do eixo , o limite é .
Passo 3
Agora, vamos escolher o caminho . Substituindo por na função:
Quando aproxima de , também aproxima de . Assim, ao longo da linha , o limite também é .
Passo 4
Vamos testar outro caminho, por exemplo, , onde é uma constante positiva. Substituindo na função:
Agora, analisamos o comportamento conforme :
Se , então e , então o limite é .
Se , já vimos que o limite é .
Se , digamos :
Novamente, o limite é .
Passo 5
Parece que, independentemente do caminho escolhido para , o limite tende a . Para confirmar isso rigorosamente, podemos usar a desigualdade para limitar o valor absoluto da função.
Vamos calcular . Sabendo que , podemos estimar:
Sem perda de generalidade, suponha que , então :
Como , tanto quanto tendem a , fazendo com que . Portanto, o limite é .