lim (x, y) (0,0) 3 x^4 yx^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) 3 x^4 yx^4+y^4. Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de alguns caminhos simples, como quando y = 0 ou x = 0.
Se escolhermos y = 0, substituindo na função fica:
3x^4 cdot 0x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0
Portanto, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher o caminho y = x. Substituindo y por x na função:
3x^4 cdot xx^4 + x^4 = 3x^52x^4 = 3x2
Quando x aproxima de 0, 3x2 também aproxima de 0. Assim, ao longo da linha y = x, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar outro caminho, por exemplo, y = x^k, onde k é uma constante positiva. Substituindo na função:
3x^4 cdot x^kx^4 + x^4k = 3x^4 + kx^4(1 + x^4k - 4) = 3x^k1 + x^4k - 4
Agora, analisamos o comportamento conforme x 0:
  • Se k > 1, então x^k 0 e x^4k - 4 0, então o limite é 0.
  • Se k = 1, já vimos que o limite é 0.
  • Se k < 1, digamos k = 12:
3x^1/21 + x^4 cdot 12 - 4 = 3x^1/21 + x^-2 approx 3x^1/2 cdot x^2 = 3x^5/2 0
Novamente, o limite é 0.

Passo 5

Parece que, independentemente do caminho escolhido para (x,y) (0,0), o limite tende a 0. Para confirmar isso rigorosamente, podemos usar a desigualdade para limitar o valor absoluto da função.
Vamos calcular |3x^4 yx^4 + y^4|. Sabendo que x^4 + y^4 >= 12(x^4 + y^4), podemos estimar:
|3x^4 yx^4 + y^4| <= 3|x|^4 |y|x^4 + y^4 <= 3|x|^4 |y|max(x^4, y^4)
Sem perda de generalidade, suponha que |x| <= |y|, então max(x^4, y^4) = y^4:
<= 3|x|^4 |y|y^4 = 3|x|^4 cdot |y|^-3
Como (x,y) (0,0), tanto |x| quanto |y| tendem a 0, fazendo com que |x|^4 cdot |y|^-3 0. Portanto, o limite é 0.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 3 x^4 yx^4+y^4 é igual a 0.

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