Um tanque cilíndrico deve ser cheio com água. Para isso, a válvula de uma tubulação no topo é aberta, e a água começa a ser alimentada ao tanque. Quando a altura da água no tanque atinge 2,0 m, uma válvula de segurança é aberta indevidamente, e a água começa também a escoar, ver figura. A seguinte função relaciona a massa de água m nesse tanque em relação ao tempo t.
m = 25.120 - 18.840 e^(-(t - 3.925) / 15.700)
Aplicando o método do Newton encontre o valor de t para m = 6.280 kg com precisão de 10^(-4) ou até k = 5 (número máximo de iterações). Com o método da Bissecção refine o intervalo [a, b], que contém o valor de t para m = 6.280 kg, com precisão 10^(-1). De posse desse intervalo, retire o valor inicial que será utilizado no método de Newton. Interprete os resultados obtidos e explique com detalhes os passos de aplicação dos métodos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico que está sendo enchido de água, mas quando a altura atinge 2 metros, uma válvula de segurança abre e a água começa a escorrer. A função que relaciona a massa de água no tanque com o tempo é dada por:
A gente precisa encontrar o valor de quando a massa é 6.280 kg usando dois métodos numéricos: o Método de Newton e o Método da Bissecção. Vamos precisar entender como esses métodos funcionam para aplicar corretamente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para encontrar quando kg:
Nosso objetivo é resolver essa equação para . Para isso, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o Método de Newton e o Método da Bissecção.

Passo 3

Rearranjando a equação para isolar a exponencial:
Calculando a diferença no lado esquerdo:
Então:
Podemos ver que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer:
Dividindo ambos os lados por 18.840:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por -15.700:
Portanto:

Passo 4

Parece que chegamos a uma solução direta sem precisar dos métodos numéricos. No entanto, para seguir as instruções do exercício, vamos considerar que a equação pode não ser direta em outros casos e revisar o processo com os métodos pedidos.
Vamos definir a função que queremos resolver:
Queremos encontrar tal que quando :
Simplificando:
Ou seja:
Como vimos antes, isso nos dá .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para confirmar essa solução, mesmo já sabendo que .
O Método de Newton utiliza a fórmula:
Primeiro, precisamos da derivada de :
Então:
Vamos escolher um valor inicial (perto de 3.925) e aplicar o método com precisão ou até 5 iterações.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Agora que convergiu para 3.925 com precisão , podemos parar as iterações.

Passo 6

Vamos agora aplicar o Método da Bissecção para refinar o intervalo que contém o valor de com precisão .
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde e têm sinais opostos.
Vamos escolher e .
Calculando :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, o intervalo contém a raiz.
Vamos refinar o intervalo até que a largura seja menor que .
Primeira bissecção:
Como , o novo intervalo é .
A largura é , então paramos aqui.

Passo 7

Com o intervalo refinado , podemos escolher o ponto médio como valor inicial para o Método de Newton. Vamos calcular:
Conforme já vimos nas iterações anteriores, é a solução precisa.

Resposta

O valor de para kg é aproximadamente segundos.

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