Um tanque cilíndrico deve ser cheio com água. Para isso, a válvula de uma tubulação no topo é aberta, e a água começa a ser alimentada ao tanque. Quando a altura da água no tanque atinge , uma válvula de segurança é aberta indevidamente, e a água começa também a escoar, ver figura. A seguinte função relaciona a massa de água nesse tanque em relação ao tempo .
Aplicando o método do Newton encontre o valor de para com precisão de ou até (número máximo de iterações). Com o método da Bissecção refine o intervalo , que contém o valor de para , com precisão . De posse desse intervalo, retire o valor inicial que será utilizado no método de Newton. Interprete os resultados obtidos e explique com detalhes os passos de aplicação dos métodos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico que está sendo enchido de água, mas quando a altura atinge 2 metros, uma válvula de segurança abre e a água começa a escorrer. A função que relaciona a massa de água no tanque com o tempo é dada por:
A gente precisa encontrar o valor de quando a massa é 6.280 kg usando dois métodos numéricos: o Método de Newton e o Método da Bissecção. Vamos precisar entender como esses métodos funcionam para aplicar corretamente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para encontrar quando kg:
Nosso objetivo é resolver essa equação para . Para isso, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o Método de Newton e o Método da Bissecção.

Passo 3

Rearranjando a equação para isolar a exponencial:
Calculando a diferença no lado esquerdo:
Então:
Podemos ver que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer:
Dividindo ambos os lados por 18.840:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por -15.700:
Portanto:

Passo 4

Parece que chegamos a uma solução direta sem precisar dos métodos numéricos. No entanto, para seguir as instruções do exercício, vamos considerar que a equação pode não ser direta em outros casos e revisar o processo com os métodos pedidos.
Vamos definir a função que queremos resolver:
Queremos encontrar tal que quando :
Simplificando:
Ou seja:
Como vimos antes, isso nos dá .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para confirmar essa solução, mesmo já sabendo que .
O Método de Newton utiliza a fórmula:
Primeiro, precisamos da derivada de :
Então:
Vamos escolher um valor inicial (perto de 3.925) e aplicar o método com precisão ou até 5 iterações.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Agora que convergiu para 3.925 com precisão , podemos parar as iterações.

Passo 6

Vamos agora aplicar o Método da Bissecção para refinar o intervalo que contém o valor de com precisão .
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde e têm sinais opostos.
Vamos escolher e .
Calculando :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, o intervalo contém a raiz.
Vamos refinar o intervalo até que a largura seja menor que .
Primeira bissecção:
Como , o novo intervalo é .
A largura é , então paramos aqui.

Passo 7

Com o intervalo refinado , podemos escolher o ponto médio como valor inicial para o Método de Newton. Vamos calcular:
Conforme já vimos nas iterações anteriores, é a solução precisa.

Resposta

O valor de para kg é aproximadamente segundos.

Exercícios relacionados

Para produzir um pote de iogurte de frutas com uma quantidade de vitaminas equilibrada, o iogurte deve conter 170 unidades (u) de vitamina A, 180 u de vitamina B e 140 u de vitamina C.
A empresa produtora utiliza apenas três tipos diferentes de frutas nesse iogurte em especifico.
Fixada a mesma quantidade (1g) de cada fruta, determinou-se que:
(A) A fruta (l) tem 10 u de vitamina de vitamina B e 1 u de vitamina C.
(B) A fruta (2) tem 1 u de vitamina de vitamina B e 0 u de vitamina C.
© A fruta (3) tem 2 u de vitamina de vitamina B e 5 u de vitamina C.
Utilize os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com precisão de ou até (número máximo de iterações) para calcular quantos gramas de cada fruta l, 2 e 3 devemos colocar na receita do iogurte para que ele tenha uma quantidade adequada de vitaminas. Antes da aplicação dos métodos verifique a convergência dos mesmos utilizando os critérios de convergência trabalhados em sala.
Interprete os resultados obtidos e explique com detalhes os passos de aplicação do método.
Considere a função que relaciona a tensão de cisalhamento na parede ( ) e a taxa de cisalhamento aparente na parede , do escoamento de maionese em um viscosímetro de tubo capilar a 28 . Utilizando o método do Ponto Fixo encontre o valor de para 82,3 Pa com precisão de ou até 5 (número máximo de iterações). Interprete os resultados obtidos e explique com detalhes os passos de aplicação do método.
Verifique se a funçĩo dada por é homogenea. Em caso afirmativo, determine o grall de homogeneidade de .