Verifique se a funçĩo dada por
é homogenea. Em caso afirmativo, determine o grall de homogeneidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função
é homogênea. Função homogênea é aquela que, se a gente mudar as variáveis por um múltiplo
, a função inteira muda de uma maneira específica. Vamos ver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau
. Isso quer dizer que se a gente multiplicar as variáveis
e
por um fator
, a função toda vira
vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Nosso objetivo é descobrir se isso é verdade para a função dada e, se for, qual é esse grau
.
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na função
:
Agora, vamos simplificar cada parte dessa expressão.
Passo 4
Simplificando os termos:
Substituindo de volta na função:
Veja que o
cancelou em cima e embaixo.
Passo 5
Agora, observamos que:
Isso quer dizer que:
Porque
, então a função não muda em relação a
.
Resposta
A função
é homogênea de grau 0.