Verifique se a funçĩo dada por
é homogenea. Em caso afirmativo, determine o grall de homogeneidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função
é homogênea. Função homogênea é aquela que, se a gente mudar as variáveis por um múltiplo
, a função inteira muda de uma maneira específica. Vamos ver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau
. Isso quer dizer que se a gente multiplicar as variáveis
e
por um fator
, a função toda vira
vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Nosso objetivo é descobrir se isso é verdade para a função dada e, se for, qual é esse grau
.
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na função
:
Agora, vamos simplificar cada parte dessa expressão.
Passo 4
Simplificando os termos:
Substituindo de volta na função:
Veja que o
cancelou em cima e embaixo.
Passo 5
Agora, observamos que:
Isso quer dizer que:
Porque
, então a função não muda em relação a
.
Resposta
A função
é homogênea de grau 0.
Exercícios relacionados
Um tanque cilíndrico deve ser cheio com água. Para isso, a válvula de uma tubulação no topo é aberta, e a água começa a ser alimentada ao tanque. Quando a altura da água no tanque atinge
, uma válvula de segurança é aberta indevidamente, e a água começa também a escoar, ver figura. A seguinte função relaciona a massa de água
nesse tanque em relação ao tempo
.
Aplicando o método do Newton encontre o valor de
para
com precisão de
ou até
(número máximo de iterações). Com o método da Bissecção refine o intervalo
, que contém o valor de
para
, com precisão
. De posse desse intervalo, retire o valor inicial que será utilizado no método de Newton. Interprete os resultados obtidos e explique com detalhes os passos de aplicação dos métodos.