Verifique se a funçĩo dada por f(x, y) = (3*x^3 + x*y^2*sen(x/y)) / (2*x^3 + x^2*y) é homogenea. Em caso afirmativo, determine o grall de homogeneidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função é homogênea. Função homogênea é aquela que, se a gente mudar as variáveis por um múltiplo , a função inteira muda de uma maneira específica. Vamos ver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau . Isso quer dizer que se a gente multiplicar as variáveis e por um fator , a função toda vira vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Nosso objetivo é descobrir se isso é verdade para a função dada e, se for, qual é esse grau .

Passo 3

Vamos substituir por e por na função :
Agora, vamos simplificar cada parte dessa expressão.

Passo 4

Simplificando os termos:
á
Substituindo de volta na função:
Veja que o cancelou em cima e embaixo.

Passo 5

Agora, observamos que:
Isso quer dizer que:
Porque , então a função não muda em relação a .

Resposta

A função é homogênea de grau 0.

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