Para produzir um pote de iogurte de frutas com uma quantidade de vitaminas equilibrada, o iogurte deve conter 170 unidades (u) de vitamina A, 180 u de vitamina B e 140 u de vitamina C.
A empresa produtora utiliza apenas três tipos diferentes de frutas nesse iogurte em especifico.
Fixada a mesma quantidade (1g) de cada fruta, determinou-se que:
(A) A fruta (l) tem 10 u de vitamina A, 1 u de vitamina B e 1 u de vitamina C.
(B) A fruta (2) tem 1 u de vitamina A, 9 u de vitamina B e 0 u de vitamina C.
© A fruta (3) tem 2 u de vitamina A, 2u de vitamina B e 5 u de vitamina C.
Utilize os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com precisão de 10^(-3) ou até k = 4 (número máximo de iterações) para calcular quantos gramas de cada fruta l, 2 e 3 devemos colocar na receita do iogurte para que ele tenha uma quantidade adequada de vitaminas. Antes da aplicação dos métodos verifique a convergência dos mesmos utilizando os critérios de convergência trabalhados em sala.
Interprete os resultados obtidos e explique com detalhes os passos de aplicação do método.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produzir um pote de iogurte com vitaminas A, B e C nas quantidades equilibradas: 170 unidades de A, 180 de B e 140 de C. A gente tem três tipos de frutas, cada uma com uma quantidade específica dessas vitaminas por grama. O objetivo é descobrir quantas gramas de cada fruta usar na receita usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações e aplicar esses métodos iterativos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o sistema de equações com base nas informações dadas:
Aqui, , e representam as gramas das frutas 1, 2 e 3, respectivamente.

Passo 3

Antes de usar os métodos iterativos, é importante verificar se o sistema converge. Uma maneira simples de verificar é ver se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos demais coeficientes dessa equação.
Vamos analisar:
  1. Para a primeira equação:
  2. Para a segunda equação:
  3. Para a terceira equação:
Como todas as equações são diagonalmente dominantes, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel irão convergir. Partiu resolver!

Passo 4

Vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
Isso facilita a aplicação dos métodos iterativos, onde cada variável é atualizada com base nas outras.

Passo 5

Método de Gauss-Jacobi

Nesse método, as atualizações de todas as variáveis são feitas usando os valores da iteração anterior.
Iteração 0 (Valores iniciais):
Vamos começar com .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
A precisão está chegando perto de , então podemos parar aqui.

Passo 6

Método de Gauss-Seidel

Nesse método, as atualizações são feitas imediatamente com os valores mais recentes disponíveis.
Iteração 0 (Valores iniciais):
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Assim como no Gauss-Jacobi, as soluções estão se aproximando com cada iteração.

Resposta

Após 4 iterações, os valores aproximados para a quantidade de cada fruta são:
  • Fruta 1: gramas
  • Fruta 2: gramas
  • Fruta 3: gramas
Essas quantidades garantem que o iogurte tenha as quantidades adequadas de vitaminas A, B e C conforme solicitado.

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