Beleza, vamos lá! A questão fala sobre produzir um pote de iogurte com vitaminas A, B e C nas quantidades equilibradas: 170 unidades de A, 180 de B e 140 de C. A gente tem três tipos de frutas, cada uma com uma quantidade específica dessas vitaminas por grama. O objetivo é descobrir quantas gramas de cada fruta usar na receita usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações e aplicar esses métodos iterativos.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o sistema de equações com base nas informações dadas:
Aqui, , e representam as gramas das frutas 1, 2 e 3, respectivamente.
Passo 3
Antes de usar os métodos iterativos, é importante verificar se o sistema converge. Uma maneira simples de verificar é ver se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos demais coeficientes dessa equação.
Vamos analisar:
Para a primeira equação: → ✅
Para a segunda equação: → ✅
Para a terceira equação: → ✅
Como todas as equações são diagonalmente dominantes, os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel irão convergir. Partiu resolver!
Passo 4
Vamos reorganizar as equações para isolar cada variável:
Isso facilita a aplicação dos métodos iterativos, onde cada variável é atualizada com base nas outras.
Passo 5
Método de Gauss-Jacobi
Nesse método, as atualizações de todas as variáveis são feitas usando os valores da iteração anterior.
Iteração 0 (Valores iniciais):
Vamos começar com .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
A precisão está chegando perto de , então podemos parar aqui.
Passo 6
Método de Gauss-Seidel
Nesse método, as atualizações são feitas imediatamente com os valores mais recentes disponíveis.
Iteração 0 (Valores iniciais): .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Assim como no Gauss-Jacobi, as soluções estão se aproximando com cada iteração.
Resposta
Após 4 iterações, os valores aproximados para a quantidade de cada fruta são:
Fruta 1: gramas
Fruta 2: gramas
Fruta 3: gramas
Essas quantidades garantem que o iogurte tenha as quantidades adequadas de vitaminas A, B e C conforme solicitado.