Se e então .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está dizendo. Temos duas sequências de números, chamadas e . A informação que a gente tem é que:
  • : Isso quer dizer que, conforme fica cada vez maior, os valores de se aproximam cada vez mais de .
  • : Isso significa que a diferença entre e está ficando menor e menor, chegando perto de zero.
O que a gente precisa provar é que , ou seja, que a sequência também se aproxima de quando cresce.

Passo 2

Vamos usar uma regra básica de limites que facilita bastante nesse tipo de problema. Essa regra diz que o limite da soma (ou diferença) de duas sequências é igual à soma (ou diferença) dos limites dessas sequências. Em termos matemáticos:
No nosso caso, temos a diferença , e sabemos que o limite dessa diferença é zero. Vamos organizar isso para achar o limite de .

Passo 3

Rearranjando a expressão para isolar , temos:
Agora, substituímos os limites que já conhecemos:

Resposta

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Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.
Se e então .
Se e então .