Se lim xn=a e lim (xn-yn)=0 então lim yn=a.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está dizendo. Temos duas sequências de números, chamadas e . A informação que a gente tem é que:
  • : Isso quer dizer que, conforme fica cada vez maior, os valores de se aproximam cada vez mais de .
  • : Isso significa que a diferença entre e está ficando menor e menor, chegando perto de zero.
O que a gente precisa provar é que , ou seja, que a sequência também se aproxima de quando cresce.

Passo 2

Vamos usar uma regra básica de limites que facilita bastante nesse tipo de problema. Essa regra diz que o limite da soma (ou diferença) de duas sequências é igual à soma (ou diferença) dos limites dessas sequências. Em termos matemáticos:
limn to infty (An pm Bn) = limn to infty An pm limn to infty Bn
No nosso caso, temos a diferença , e sabemos que o limite dessa diferença é zero. Vamos organizar isso para achar o limite de .

Passo 3

Rearranjando a expressão para isolar limn to infty yn = limn to infty xn - limn to infty (xn - yn) , temos:
limn to infty yn = a - 0
Agora, substituímos os limites que já conhecemos:
limn to infty yn = a

Resposta

limn to infty yn = a

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