Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar que uma sequência estritamente crescente é sempre limitada inferiormente. Isso está dentro da matéria de Análise de Sequências, especificamente sobre limites e concavidades. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser estritamente crescente e o que é uma limitação inferior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência estritamente crescente. Isso quer dizer que cada termo da sequência é maior que o termo anterior. Matematicamente, se temos uma sequência
, ela é estritamente crescente se:
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa ser limitada inferiormente. Uma sequência é limitada inferiormente se existe um número real
tal que todos os termos da sequência são maiores ou iguais a
. Em outras palavras:
Passo 4
Vamos conectar essas definições. Se a sequência é estritamente crescente, isso significa que ela está sempre subindo. O menor termo dessa sequência vai ser o primeiro termo
. Como cada termo seguinte é maior que o anterior, nenhum termo vai ser menor que
.
Passo 5
Portanto, podemos escolher
. Assim, para todo
, temos:
Isso mostra que todos os termos da sequência são, de fato, maiores ou iguais a
.
Resposta
Concluímos que uma sequência estritamente crescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo
.
Exercícios relacionados
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Mostre que, para todo
,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que
; considere a subsequência com índices
; nesse caso,
.)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.
Se
e
então
.