Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) crescente é sempre limitada inferiormente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar que uma sequência estritamente crescente é sempre limitada inferiormente. Isso está dentro da matéria de Análise de Sequências, especificamente sobre limites e concavidades. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser estritamente crescente e o que é uma limitação inferior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência estritamente crescente. Isso quer dizer que cada termo da sequência é maior que o termo anterior. Matematicamente, se temos uma sequência , ela é estritamente crescente se:

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa ser limitada inferiormente. Uma sequência é limitada inferiormente se existe um número real tal que todos os termos da sequência são maiores ou iguais a . Em outras palavras:

Passo 4

Vamos conectar essas definições. Se a sequência é estritamente crescente, isso significa que ela está sempre subindo. O menor termo dessa sequência vai ser o primeiro termo . Como cada termo seguinte é maior que o anterior, nenhum termo vai ser menor que .

Passo 5

Portanto, podemos escolher . Assim, para todo , temos:
Isso mostra que todos os termos da sequência são, de fato, maiores ou iguais a .

Resposta

Concluímos que uma sequência estritamente crescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo .

Exercícios relacionados

Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que, para todo ,
(Pelo Exercício 1.11, basta considerar o caso em que ; considere a subsequência com índices ; nesse caso, .)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência monótona é limitada se e somente se possui uma subsequência limitada.
Se e então .